Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70846 / 95676
↖ ↑ ↗
← S 63.465237°
E 14.584351°		 ← 136.42 m → S 63.465237°
E 14.587097°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.466464°
E 14.584351°		 ← 136.41 m →
18 607 m²		 S 63.466464°
E 14.587097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540515899658203 y=0.729953765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540515899658203 × 217)
    floor (0.540515899658203 × 131072)
    floor (70846.5)     		tx = 70846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729953765869141 × 217)
    floor (0.729953765869141 × 131072)
    floor (95676.5)     		ty = 95676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70846 / 95676 ti = "17/70846/95676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70846/95676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70846 ÷ 217
    70846 ÷ 131072     		x = 0.540512084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95676 ÷ 217
    95676 ÷ 131072     		y = 0.729949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540512084960938 × 2 - 1) × π
    0.081024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25454494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.45989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44481815454849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25454494} λ = 0.25454494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44481815454849))-π/2
    2×atan(0.235788949805631)-π/2
    2×0.231559489189839-π/2
    0.463118978379678-1.57079632675     		φ = -1.10767735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25454494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.584351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10767735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.465237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70846 KachelY 95676 0.25454494 -1.10767735 14.584351 -63.465237
    Oben rechts KachelX + 1 70847 KachelY 95676 0.25459287 -1.10767735 14.587097 -63.465237
    Unten links KachelX 70846 KachelY + 1 95677 0.25454494 -1.10769876 14.584351 -63.466464
    Unten rechts KachelX + 1 70847 KachelY + 1 95677 0.25459287 -1.10769876 14.587097 -63.466464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10767735--1.10769876) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10767735--1.10769876) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25454494-0.25459287) × cos(-1.10767735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446740710015609 × 6371000     		do = 136.417650094091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25454494-0.25459287) × cos(-1.10769876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446721555168166 × 6371000     		du = 136.411800930992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10767735)-sin(-1.10769876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446740710015609-0.446721555168166)×R²
    abs(0.25459287-0.25454494)×1.91548474426373e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91548474426373e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91548474426373e-05×40589641000000     		ar = 18607.3928104322m²