Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70845 / 95675
↖ ↑ ↗
← S 63.464010°
E 14.581604°		 ← 136.45 m → S 63.464010°
E 14.584351°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.465237°
E 14.581604°		 ← 136.45 m →
18 621 m²		 S 63.465237°
E 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540508270263672 y=0.729946136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540508270263672 × 217)
    floor (0.540508270263672 × 131072)
    floor (70845.5)     		tx = 70845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729946136474609 × 217)
    floor (0.729946136474609 × 131072)
    floor (95675.5)     		ty = 95675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70845 / 95675 ti = "17/70845/95675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70845/95675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70845 ÷ 217
    70845 ÷ 131072     		x = 0.540504455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95675 ÷ 217
    95675 ÷ 131072     		y = 0.729942321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540504455566406 × 2 - 1) × π
    0.0810089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25449700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729942321777344 × 2 - 1) × π
    -0.459884643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.44477021764887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25449700} λ = 0.25449700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44477021764887))-π/2
    2×atan(0.235800253067768)-π/2
    2×0.231570197101774-π/2
    0.463140394203548-1.57079632675     		φ = -1.10765593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25449700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.581604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10765593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.464010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70845 KachelY 95675 0.25449700 -1.10765593 14.581604 -63.464010
    Oben rechts KachelX + 1 70846 KachelY 95675 0.25454494 -1.10765593 14.584351 -63.464010
    Unten links KachelX 70845 KachelY + 1 95676 0.25449700 -1.10767735 14.581604 -63.465237
    Unten rechts KachelX + 1 70846 KachelY + 1 95676 0.25454494 -1.10767735 14.584351 -63.465237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10765593--1.10767735) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10765593--1.10767735) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25449700-0.25454494) × cos(-1.10765593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44675987360481 × 6371000     		do = 136.451964998124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25449700-0.25454494) × cos(-1.10767735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446740710015609 × 6371000     		du = 136.446111944711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10765593)-sin(-1.10767735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44675987360481-0.446740710015609)×R²
    abs(0.25454494-0.25449700)×1.91635892010655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91635892010655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91635892010655e-05×40589641000000     		ar = 18620.7663730079m²