Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70844 / 95672
↖ ↑ ↗
← S 63.460329°
E 14.578857°		 ← 136.47 m → S 63.460329°
E 14.581604°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.461556°
E 14.578857°		 ← 136.46 m →
18 623 m²		 S 63.461556°
E 14.581604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540500640869141 y=0.729923248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540500640869141 × 217)
    floor (0.540500640869141 × 131072)
    floor (70844.5)     		tx = 70844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729923248291016 × 217)
    floor (0.729923248291016 × 131072)
    floor (95672.5)     		ty = 95672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70844 / 95672 ti = "17/70844/95672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70844/95672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70844 ÷ 217
    70844 ÷ 131072     		x = 0.540496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95672 ÷ 217
    95672 ÷ 131072     		y = 0.72991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540496826171875 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.4598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44462640695001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25444906} λ = 0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44462640695001))-π/2
    2×atan(0.235834166105424)-π/2
    2×0.231602323593074-π/2
    0.463204647186148-1.57079632675     		φ = -1.10759168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10759168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.460329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70844 KachelY 95672 0.25444906 -1.10759168 14.578857 -63.460329
    Oben rechts KachelX + 1 70845 KachelY 95672 0.25449700 -1.10759168 14.581604 -63.460329
    Unten links KachelX 70844 KachelY + 1 95673 0.25444906 -1.10761310 14.578857 -63.461556
    Unten rechts KachelX + 1 70845 KachelY + 1 95673 0.25449700 -1.10761310 14.581604 -63.461556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10759168--1.10761310) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10759168--1.10761310) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25444906-0.25449700) × cos(-1.10759168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446817354196241 × 6371000     		do = 136.46952105014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25444906-0.25449700) × cos(-1.10761310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446798191221913 × 6371000     		du = 136.463668184525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10759168)-sin(-1.10761310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446817354196241-0.446798191221913)×R²
    abs(0.25449700-0.25444906)×1.91629743281352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91629743281352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91629743281352e-05×40589641000000     		ar = 18623.162204477m²