Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7084 / 5588
↖ ↑ ↗
← N 49.553726°
W 24.345703°		 ← 1 585.04 m → N 49.553726°
W 24.323730°		 →
↑
1 585.30 m
↓
↑
1 585.30 m
↓
N 49.539469°
W 24.345703°		 ← 1 585.50 m →
2 513 124 m²		 N 49.539469°
W 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432403564453125 y=0.341094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432403564453125 × 214)
    floor (0.432403564453125 × 16384)
    floor (7084.5)     		tx = 7084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341094970703125 × 214)
    floor (0.341094970703125 × 16384)
    floor (5588.5)     		ty = 5588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7084 / 5588 ti = "14/7084/5588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7084/5588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7084 ÷ 214
    7084 ÷ 16384     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5588 ÷ 214
    5588 ÷ 16384     		y = 0.341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341064453125 × 2 - 1) × π
    0.31787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99862149288501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99862149288501))-π/2
    2×atan(2.71453723918243)-π/2
    2×1.21783599680803-π/2
    2.43567199361605-1.57079632675     		φ = 0.86487567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86487567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.553726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7084 KachelY 5588 -0.42491268 0.86487567 -24.345703 49.553726
    Oben rechts KachelX + 1 7085 KachelY 5588 -0.42452918 0.86487567 -24.323730 49.553726
    Unten links KachelX 7084 KachelY + 1 5589 -0.42491268 0.86462684 -24.345703 49.539469
    Unten rechts KachelX + 1 7085 KachelY + 1 5589 -0.42452918 0.86462684 -24.323730 49.539469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86487567-0.86462684) × R
    0.000248829999999978 × 6371000     		dl = 1585.29592999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86487567-0.86462684) × R
    0.000248829999999978 × 6371000     		dr = 1585.29592999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42452918) × cos(0.86487567) × R
    0.000383499999999981 × 0.648734737647142 × 6371000     		do = 1585.03963669632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42452918) × cos(0.86462684) × R
    0.000383499999999981 × 0.648924080827522 × 6371000     		du = 1585.50225481807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86487567)-sin(0.86462684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648734737647142-0.648924080827522)×R²
    abs(-0.42452918--0.42491268)×0.000189343180380774×R²
    0.000383499999999981×0.000189343180380774×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189343180380774×40589641000000     		ar = 2513123.59122329m²