Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7084 / 3788
↖ ↑ ↗
← N 69.068563°
W 24.345703°		 ← 872.86 m → N 69.068563°
W 24.323730°		 →
↑
873.02 m
↓
↑
873.02 m
↓
N 69.060712°
W 24.345703°		 ← 873.18 m →
762 161 m²		 N 69.060712°
W 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432403564453125 y=0.231231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432403564453125 × 214)
    floor (0.432403564453125 × 16384)
    floor (7084.5)     		tx = 7084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231231689453125 × 214)
    floor (0.231231689453125 × 16384)
    floor (3788.5)     		ty = 3788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7084 / 3788 ti = "14/7084/3788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7084/3788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7084 ÷ 214
    7084 ÷ 16384     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3788 ÷ 214
    3788 ÷ 16384     		y = 0.231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231201171875 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68891284741382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68891284741382))-π/2
    2×atan(5.41359210415073)-π/2
    2×1.38813508200593-π/2
    2.77627016401186-1.57079632675     		φ = 1.20547384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20547384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.068563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7084 KachelY 3788 -0.42491268 1.20547384 -24.345703 69.068563
    Oben rechts KachelX + 1 7085 KachelY 3788 -0.42452918 1.20547384 -24.323730 69.068563
    Unten links KachelX 7084 KachelY + 1 3789 -0.42491268 1.20533681 -24.345703 69.060712
    Unten rechts KachelX + 1 7085 KachelY + 1 3789 -0.42452918 1.20533681 -24.323730 69.060712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20547384-1.20533681) × R
    0.000137030000000093 × 6371000     		dl = 873.018130000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20547384-1.20533681) × R
    0.000137030000000093 × 6371000     		dr = 873.018130000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42452918) × cos(1.20547384) × R
    0.000383499999999981 × 0.357250518488506 × 6371000     		do = 872.862510936777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42452918) × cos(1.20533681) × R
    0.000383499999999981 × 0.357378502332637 × 6371000     		du = 873.175211111488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20547384)-sin(1.20533681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357250518488506-0.357378502332637)×R²
    abs(-0.42452918--0.42491268)×0.000127983844130486×R²
    0.000383499999999981×0.000127983844130486×6371000²
    0.000383499999999981×0.000127983844130486×40589641000000     		ar = 762161.294698337m²