Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70832 / 95663
↖ ↑ ↗
← S 63.449281°
E 14.545898°		 ← 136.52 m → S 63.449281°
E 14.548645°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.450509°
E 14.545898°		 ← 136.52 m →
18 639 m²		 S 63.450509°
E 14.548645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540409088134766 y=0.729854583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540409088134766 × 217)
    floor (0.540409088134766 × 131072)
    floor (70832.5)     		tx = 70832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729854583740234 × 217)
    floor (0.729854583740234 × 131072)
    floor (95663.5)     		ty = 95663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70832 / 95663 ti = "17/70832/95663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70832/95663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70832 ÷ 217
    70832 ÷ 131072     		x = 0.5404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95663 ÷ 217
    95663 ÷ 131072     		y = 0.729850769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5404052734375 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729850769042969 × 2 - 1) × π
    -0.459701538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44419497485343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25387382} λ = 0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44419497485343))-π/2
    2×atan(0.235935934485646)-π/2
    2×0.231698727869891-π/2
    0.463397455739782-1.57079632675     		φ = -1.10739887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10739887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.449281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70832 KachelY 95663 0.25387382 -1.10739887 14.545898 -63.449281
    Oben rechts KachelX + 1 70833 KachelY 95663 0.25392176 -1.10739887 14.548645 -63.449281
    Unten links KachelX 70832 KachelY + 1 95664 0.25387382 -1.10742030 14.545898 -63.450509
    Unten rechts KachelX + 1 70833 KachelY + 1 95664 0.25392176 -1.10742030 14.548645 -63.450509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10739887--1.10742030) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10739887--1.10742030) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25387382-0.25392176) × cos(-1.10739887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44698983857499 × 6371000     		do = 136.522202219316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25387382-0.25392176) × cos(-1.10742030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446970668500844 × 6371000     		du = 136.516347185233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10739887)-sin(-1.10742030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44698983857499-0.446970668500844)×R²
    abs(0.25392176-0.25387382)×1.9170074146424e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9170074146424e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9170074146424e-05×40589641000000     		ar = 18639.048931099m²