Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7082 / 9230
↖ ↑ ↗
← N 78.046071°
W141.097412°		 ← 126.52 m → N 78.046071°
W141.091919°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 78.044933°
W141.097412°		 ← 126.53 m →
16 001 m²		 N 78.044933°
W141.091919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108070373535156 y=0.140846252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108070373535156 × 216)
    floor (0.108070373535156 × 65536)
    floor (7082.5)     		tx = 7082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140846252441406 × 216)
    floor (0.140846252441406 × 65536)
    floor (9230.5)     		ty = 9230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7082 / 9230 ti = "16/7082/9230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7082/9230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7082 ÷ 216
    7082 ÷ 65536     		x = 0.108062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9230 ÷ 216
    9230 ÷ 65536     		y = 0.140838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.78387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46261441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140838623046875 × 2 - 1) × π
    0.71832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25667748651376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46261441} λ = -2.46261441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25667748651376))-π/2
    2×atan(9.55130205955593)-π/2
    2×1.46647861550328-π/2
    2.93295723100656-1.57079632675     		φ = 1.36216090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46261441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36216090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.046071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7082 KachelY 9230 -2.46261441 1.36216090 -141.097412 78.046071
    Oben rechts KachelX + 1 7083 KachelY 9230 -2.46251853 1.36216090 -141.091919 78.046071
    Unten links KachelX 7082 KachelY + 1 9231 -2.46261441 1.36214105 -141.097412 78.044933
    Unten rechts KachelX + 1 7083 KachelY + 1 9231 -2.46251853 1.36214105 -141.091919 78.044933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36216090-1.36214105) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36216090-1.36214105) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46261441--2.46251853) × cos(1.36216090) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207125111397893 × 6371000     		do = 126.522680842485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46261441--2.46251853) × cos(1.36214105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207144530899173 × 6371000     		du = 126.534543273583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36216090)-sin(1.36214105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207125111397893-0.207144530899173)×R²
    abs(-2.46251853--2.46261441)×1.94195012803156e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94195012803156e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94195012803156e-05×40589641000000     		ar = 16001.3586809274m²