Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7080 / 1754
↖ ↑ ↗
← N 80.320119°
W 24.433594°		 ← 410.82 m → N 80.320119°
W 24.411621°		 →
↑
410.87 m
↓
↑
410.87 m
↓
N 80.316424°
W 24.433594°		 ← 410.98 m →
168 824 m²		 N 80.316424°
W 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432159423828125 y=0.107086181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432159423828125 × 214)
    floor (0.432159423828125 × 16384)
    floor (7080.5)     		tx = 7080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107086181640625 × 214)
    floor (0.107086181640625 × 16384)
    floor (1754.5)     		ty = 1754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7080 / 1754 ti = "14/7080/1754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7080/1754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7080 ÷ 214
    7080 ÷ 16384     		x = 0.43212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1754 ÷ 214
    1754 ÷ 16384     		y = 0.1070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1070556640625 × 2 - 1) × π
    0.785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46894207803137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42644666} λ = -0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46894207803137))-π/2
    2×atan(11.8099462389014)-π/2
    2×1.48632343495792-π/2
    2.97264686991584-1.57079632675     		φ = 1.40185054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40185054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.320119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7080 KachelY 1754 -0.42644666 1.40185054 -24.433594 80.320119
    Oben rechts KachelX + 1 7081 KachelY 1754 -0.42606316 1.40185054 -24.411621 80.320119
    Unten links KachelX 7080 KachelY + 1 1755 -0.42644666 1.40178605 -24.433594 80.316424
    Unten rechts KachelX + 1 7081 KachelY + 1 1755 -0.42606316 1.40178605 -24.411621 80.316424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40185054-1.40178605) × R
    6.44900000001947e-05 × 6371000     		dl = 410.86579000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40185054-1.40178605) × R
    6.44900000001947e-05 × 6371000     		dr = 410.86579000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42644666--0.42606316) × cos(1.40185054) × R
    0.000383499999999981 × 0.168143238771723 × 6371000     		do = 410.820760211297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42644666--0.42606316) × cos(1.40178605) × R
    0.000383499999999981 × 0.168206810250392 × 6371000     		du = 410.976083038341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40185054)-sin(1.40178605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168143238771723-0.168206810250392)×R²
    abs(-0.42606316--0.42644666)×6.3571478668728e-05×R²
    0.000383499999999981×6.3571478668728e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.3571478668728e-05×40589641000000     		ar = 168824.10467033m²