Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 708 / 1484
↖ ↑ ↗
← S 62.593341°
W 55.546875°		 ← 8 997.07 m → S 62.593341°
W 55.371094°		 →
↑
8 984.83 m
↓
↑
8 984.83 m
↓
S 62.674144°
W 55.546875°		 ← 8 972.59 m →
80 727 179 m²		 S 62.674144°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345947265625 y=0.724853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345947265625 × 211)
    floor (0.345947265625 × 2048)
    floor (708.5)     		tx = 708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724853515625 × 211)
    floor (0.724853515625 × 2048)
    floor (1484.5)     		ty = 1484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 708 / 1484 ti = "11/708/1484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/708/1484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 708 ÷ 211
    708 ÷ 2048     		x = 0.345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1484 ÷ 211
    1484 ÷ 2048     		y = 0.724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345703125 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96947586} λ = -0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41126232481445))-π/2
    2×atan(0.243835289463767)-π/2
    2×0.239168219752432-π/2
    0.478336439504865-1.57079632675     		φ = -1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 708 KachelY 1484 -0.96947586 -1.09245989 -55.546875 -62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 709 KachelY 1484 -0.96640790 -1.09245989 -55.371094 -62.593341
    Unten links KachelX 708 KachelY + 1 1485 -0.96947586 -1.09387016 -55.546875 -62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 709 KachelY + 1 1485 -0.96640790 -1.09387016 -55.371094 -62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09245989--1.09387016) × R
    0.00141027000000005 × 6371000     		dl = 8984.8301700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09245989--1.09387016) × R
    0.00141027000000005 × 6371000     		dr = 8984.8301700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96947586--0.96640790) × cos(-1.09245989) × R
    0.00306795999999998 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 8997.06940193663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96947586--0.96640790) × cos(-1.09387016) × R
    0.00306795999999998 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 8972.58921808861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09245989)-sin(-1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.96640790--0.96947586)×0.00125244129047108×R²
    0.00306795999999998×0.00125244129047108×6371000²
    0.00306795999999998×0.00125244129047108×40589641000000     		ar = 80727178.8365083m²