Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70796 / 95964
↖ ↑ ↗
← S 63.816440°
E 14.447021°		 ← 134.77 m → S 63.816440°
E 14.449768°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.817652°
E 14.447021°		 ← 134.76 m →
18 159 m²		 S 63.817652°
E 14.449768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540134429931641 y=0.732151031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540134429931641 × 217)
    floor (0.540134429931641 × 131072)
    floor (70796.5)     		tx = 70796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732151031494141 × 217)
    floor (0.732151031494141 × 131072)
    floor (95964.5)     		ty = 95964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70796 / 95964 ti = "17/70796/95964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70796/95964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70796 ÷ 217
    70796 ÷ 131072     		x = 0.540130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95964 ÷ 217
    95964 ÷ 131072     		y = 0.732147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540130615234375 × 2 - 1) × π
    0.08026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25214809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.46429443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45862398163907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25214809} λ = 0.25214809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45862398163907))-π/2
    2×atan(0.232556056069902)-π/2
    2×0.22849466272515-π/2
    0.456989325450301-1.57079632675     		φ = -1.11380700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25214809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.447021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11380700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.816440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70796 KachelY 95964 0.25214809 -1.11380700 14.447021 -63.816440
    Oben rechts KachelX + 1 70797 KachelY 95964 0.25219603 -1.11380700 14.449768 -63.816440
    Unten links KachelX 70796 KachelY + 1 95965 0.25214809 -1.11382815 14.447021 -63.817652
    Unten rechts KachelX + 1 70797 KachelY + 1 95965 0.25219603 -1.11382815 14.449768 -63.817652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11380700--1.11382815) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11380700--1.11382815) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25214809-0.25219603) × cos(-1.11380700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441248377790982 × 6371000     		do = 134.768612310678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25214809-0.25219603) × cos(-1.11382815) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44122939799918 × 6371000     		du = 134.762815393722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11380700)-sin(-1.11382815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441248377790982-0.44122939799918)×R²
    abs(0.25219603-0.25214809)×1.8979791802598e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8979791802598e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8979791802598e-05×40589641000000     		ar = 18159.2284771405m²