Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70792 / 95880
↖ ↑ ↗
← S 63.714454°
E 14.436035°		 ← 135.26 m → S 63.714454°
E 14.438782°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.715671°
E 14.436035°		 ← 135.25 m →
18 294 m²		 S 63.715671°
E 14.438782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540103912353516 y=0.731510162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540103912353516 × 217)
    floor (0.540103912353516 × 131072)
    floor (70792.5)     		tx = 70792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731510162353516 × 217)
    floor (0.731510162353516 × 131072)
    floor (95880.5)     		ty = 95880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70792 / 95880 ti = "17/70792/95880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70792/95880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70792 ÷ 217
    70792 ÷ 131072     		x = 0.54010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95880 ÷ 217
    95880 ÷ 131072     		y = 0.73150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54010009765625 × 2 - 1) × π
    0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4630126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45459728207098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25195634} λ = 0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45459728207098))-π/2
    2×atan(0.233494377341512)-π/2
    2×0.22938465660813-π/2
    0.458769313216259-1.57079632675     		φ = -1.11202701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11202701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.714454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70792 KachelY 95880 0.25195634 -1.11202701 14.436035 -63.714454
    Oben rechts KachelX + 1 70793 KachelY 95880 0.25200428 -1.11202701 14.438782 -63.714454
    Unten links KachelX 70792 KachelY + 1 95881 0.25195634 -1.11204824 14.436035 -63.715671
    Unten rechts KachelX + 1 70793 KachelY + 1 95881 0.25200428 -1.11204824 14.438782 -63.715671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11202701--1.11204824) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11202701--1.11204824) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25195634-0.25200428) × cos(-1.11202701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442845014286618 × 6371000     		do = 135.256266193869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25195634-0.25200428) × cos(-1.11204824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442825979407496 × 6371000     		du = 135.250452451827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11202701)-sin(-1.11204824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442845014286618-0.442825979407496)×R²
    abs(0.25200428-0.25195634)×1.90348791217487e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90348791217487e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90348791217487e-05×40589641000000     		ar = 18293.8730028717m²