Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7078 / 1150
↖ ↑ ↗
← N 78.080156°
E131.044922°		 ← 1 009.28 m → N 78.080156°
E131.088867°		 →
↑
1 009.61 m
↓
↑
1 009.61 m
↓
N 78.071076°
E131.044922°		 ← 1 010.04 m →
1 019 369 m²		 N 78.071076°
E131.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86407470703125 y=0.14044189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86407470703125 × 213)
    floor (0.86407470703125 × 8192)
    floor (7078.5)     		tx = 7078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14044189453125 × 213)
    floor (0.14044189453125 × 8192)
    floor (1150.5)     		ty = 1150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7078 / 1150 ti = "13/7078/1150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7078/1150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7078 ÷ 213
    7078 ÷ 8192     		x = 0.864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1150 ÷ 213
    1150 ÷ 8192     		y = 0.140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864013671875 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.28716535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    0.71923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25955370049097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28716535} λ = 2.28716535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25955370049097))-π/2
    2×atan(9.5788131930277)-π/2
    2×1.46677606486602-π/2
    2.93355212973203-1.57079632675     		φ = 1.36275580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28716535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.044922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36275580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.080156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7078 KachelY 1150 2.28716535 1.36275580 131.044922 78.080156
    Oben rechts KachelX + 1 7079 KachelY 1150 2.28793235 1.36275580 131.088867 78.080156
    Unten links KachelX 7078 KachelY + 1 1151 2.28716535 1.36259733 131.044922 78.071076
    Unten rechts KachelX + 1 7079 KachelY + 1 1151 2.28793235 1.36259733 131.088867 78.071076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36275580-1.36259733) × R
    0.000158469999999911 × 6371000     		dl = 1009.61236999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36275580-1.36259733) × R
    0.000158469999999911 × 6371000     		dr = 1009.61236999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28716535-2.28793235) × cos(1.36275580) × R
    0.000767000000000184 × 0.206543075506861 × 6371000     		do = 1009.28451141982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28716535-2.28793235) × cos(1.36259733) × R
    0.000767000000000184 × 0.206698125904746 × 6371000     		du = 1010.04217402696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36275580)-sin(1.36259733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206543075506861-0.206698125904746)×R²
    abs(2.28793235-2.28716535)×0.000155050397885131×R²
    0.000767000000000184×0.000155050397885131×6371000²
    0.000767000000000184×0.000155050397885131×40589641000000     		ar = 1019368.60248176m²