Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7077 / 3707
↖ ↑ ↗
← N 69.695245°
W 24.499511°		 ← 847.83 m → N 69.695245°
W 24.477539°		 →
↑
847.98 m
↓
↑
847.98 m
↓
N 69.687618°
W 24.499511°		 ← 848.13 m →
719 071 m²		 N 69.687618°
W 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431976318359375 y=0.226287841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431976318359375 × 214)
    floor (0.431976318359375 × 16384)
    floor (7077.5)     		tx = 7077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226287841796875 × 214)
    floor (0.226287841796875 × 16384)
    floor (3707.5)     		ty = 3707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7077 / 3707 ti = "14/7077/3707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7077/3707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7077 ÷ 214
    7077 ÷ 16384     		x = 0.43194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3707 ÷ 214
    3707 ÷ 16384     		y = 0.22625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22625732421875 × 2 - 1) × π
    0.5474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71997595836761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42759714} λ = -0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71997595836761))-π/2
    2×atan(5.58439420470959)-π/2
    2×1.39360390911455-π/2
    2.7872078182291-1.57079632675     		φ = 1.21641149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21641149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.695245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7077 KachelY 3707 -0.42759714 1.21641149 -24.499511 69.695245
    Oben rechts KachelX + 1 7078 KachelY 3707 -0.42721365 1.21641149 -24.477539 69.695245
    Unten links KachelX 7077 KachelY + 1 3708 -0.42759714 1.21627839 -24.499511 69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 7078 KachelY + 1 3708 -0.42721365 1.21627839 -24.477539 69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21641149-1.21627839) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dl = 847.980099999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21641149-1.21627839) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dr = 847.980099999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42759714--0.42721365) × cos(1.21641149) × R
    0.000383489999999986 × 0.347013493884274 × 6371000     		do = 847.828500587603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42759714--0.42721365) × cos(1.21627839) × R
    0.000383489999999986 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 848.133477585687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21641149)-sin(1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347013493884274-0.347138319994255)×R²
    abs(-0.42721365--0.42759714)×0.000124826109981047×R²
    0.000383489999999986×0.000124826109981047×6371000²
    0.000383489999999986×0.000124826109981047×40589641000000     		ar = 719071.00498514m²