Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70767 / 95835
↖ ↑ ↗
← S 63.659668°
E 14.367370°		 ← 135.52 m → S 63.659668°
E 14.370117°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.660886°
E 14.367370°		 ← 135.51 m →
18 364 m²		 S 63.660886°
E 14.370117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539913177490234 y=0.731166839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539913177490234 × 217)
    floor (0.539913177490234 × 131072)
    floor (70767.5)     		tx = 70767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731166839599609 × 217)
    floor (0.731166839599609 × 131072)
    floor (95835.5)     		ty = 95835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70767 / 95835 ti = "17/70767/95835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70767/95835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70767 ÷ 217
    70767 ÷ 131072     		x = 0.539909362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95835 ÷ 217
    95835 ÷ 131072     		y = 0.731163024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539909362792969 × 2 - 1) × π
    0.0798187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25075792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731163024902344 × 2 - 1) × π
    -0.462326049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45244012158808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25075792} λ = 0.25075792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45244012158808))-π/2
    2×atan(0.23399860584066)-π/2
    2×0.229862762619201-π/2
    0.459725525238403-1.57079632675     		φ = -1.11107080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25075792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.367370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11107080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.659668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70767 KachelY 95835 0.25075792 -1.11107080 14.367370 -63.659668
    Oben rechts KachelX + 1 70768 KachelY 95835 0.25080586 -1.11107080 14.370117 -63.659668
    Unten links KachelX 70767 KachelY + 1 95836 0.25075792 -1.11109207 14.367370 -63.660886
    Unten rechts KachelX + 1 70768 KachelY + 1 95836 0.25080586 -1.11109207 14.370117 -63.660886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11107080--1.11109207) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11107080--1.11109207) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25075792-0.25080586) × cos(-1.11107080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443702147845136 × 6371000     		do = 135.518056845101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25075792-0.25080586) × cos(-1.11109207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443683086117076 × 6371000     		du = 135.512234902703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11107080)-sin(-1.11109207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443702147845136-0.443683086117076)×R²
    abs(0.25080586-0.25075792)×1.90617280602656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90617280602656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90617280602656e-05×40589641000000     		ar = 18363.8159706194m²