Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70766 / 95838
↖ ↑ ↗
← S 63.663324°
E 14.364624°		 ← 135.47 m → S 63.663324°
E 14.367370°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
S 63.664542°
E 14.364624°		 ← 135.47 m →
18 349 m²		 S 63.664542°
E 14.367370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539905548095703 y=0.731189727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539905548095703 × 217)
    floor (0.539905548095703 × 131072)
    floor (70766.5)     		tx = 70766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731189727783203 × 217)
    floor (0.731189727783203 × 131072)
    floor (95838.5)     		ty = 95838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70766 / 95838 ti = "17/70766/95838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70766/95838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70766 ÷ 217
    70766 ÷ 131072     		x = 0.539901733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95838 ÷ 217
    95838 ÷ 131072     		y = 0.731185913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539901733398438 × 2 - 1) × π
    0.079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25070999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731185913085938 × 2 - 1) × π
    -0.462371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45258393228694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25070999} λ = 0.25070999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45258393228694))-π/2
    2×atan(0.233964956757229)-π/2
    2×0.229830860117172-π/2
    0.459661720234345-1.57079632675     		φ = -1.11113461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25070999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.364624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11113461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.663324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70766 KachelY 95838 0.25070999 -1.11113461 14.364624 -63.663324
    Oben rechts KachelX + 1 70767 KachelY 95838 0.25075792 -1.11113461 14.367370 -63.663324
    Unten links KachelX 70766 KachelY + 1 95839 0.25070999 -1.11115587 14.364624 -63.664542
    Unten rechts KachelX + 1 70767 KachelY + 1 95839 0.25075792 -1.11115587 14.367370 -63.664542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11113461--1.11115587) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dl = 135.447460000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11113461--1.11115587) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dr = 135.447460000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25070999-0.25075792) × cos(-1.11113461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44364496205878 × 6371000     		do = 135.472326213625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25070999-0.25075792) × cos(-1.11115587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443625908690682 × 6371000     		du = 135.466508038464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11113461)-sin(-1.11115587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44364496205878-0.443625908690682)×R²
    abs(0.25075792-0.25070999)×1.90533680977656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90533680977656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90533680977656e-05×40589641000000     		ar = 18348.9884580699m²