Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7075 / 5538
↖ ↑ ↗
← N 75.753534°
W102.271728°		 ← 300.62 m → N 75.753534°
W102.260742°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
N 75.750830°
W102.271728°		 ← 300.68 m →
90 409 m²		 N 75.750830°
W102.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215927124023438 y=0.169021606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215927124023438 × 215)
    floor (0.215927124023438 × 32768)
    floor (7075.5)     		tx = 7075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169021606445312 × 215)
    floor (0.169021606445312 × 32768)
    floor (5538.5)     		ty = 5538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7075 / 5538 ti = "15/7075/5538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7075/5538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7075 ÷ 215
    7075 ÷ 32768     		x = 0.215911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5538 ÷ 215
    5538 ÷ 32768     		y = 0.16900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.56817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78497839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16900634765625 × 2 - 1) × π
    0.6619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07969445311652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78497839} λ = -1.78497839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07969445311652))-π/2
    2×atan(8.00202354737179)-π/2
    2×1.44647245599472-π/2
    2.89294491198944-1.57079632675     		φ = 1.32214859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78497839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32214859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.753534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7075 KachelY 5538 -1.78497839 1.32214859 -102.271728 75.753534
    Oben rechts KachelX + 1 7076 KachelY 5538 -1.78478665 1.32214859 -102.260742 75.753534
    Unten links KachelX 7075 KachelY + 1 5539 -1.78497839 1.32210139 -102.271728 75.750830
    Unten rechts KachelX + 1 7076 KachelY + 1 5539 -1.78478665 1.32210139 -102.260742 75.750830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32214859-1.32210139) × R
    4.7200000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.711200000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32214859-1.32210139) × R
    4.7200000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.711200000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78497839--1.78478665) × cos(1.32214859) × R
    0.000191739999999996 × 0.246093508833635 × 6371000     		do = 300.621810943936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78497839--1.78478665) × cos(1.32210139) × R
    0.000191739999999996 × 0.246139256974985 × 6371000     		du = 300.677695754409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32214859)-sin(1.32210139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246093508833635-0.246139256974985)×R²
    abs(-1.78478665--1.78497839)×4.57481413495553e-05×R²
    0.000191739999999996×4.57481413495553e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.57481413495553e-05×40589641000000     		ar = 90408.7481267255m²