Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7075 / 5516
↖ ↑ ↗
← N 50.569283°
W 24.543457°		 ← 1 551.84 m → N 50.569283°
W 24.521484°		 →
↑
1 552.04 m
↓
↑
1 552.04 m
↓
N 50.555325°
W 24.543457°		 ← 1 552.30 m →
2 408 866 m²		 N 50.555325°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431854248046875 y=0.336700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431854248046875 × 214)
    floor (0.431854248046875 × 16384)
    floor (7075.5)     		tx = 7075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336700439453125 × 214)
    floor (0.336700439453125 × 16384)
    floor (5516.5)     		ty = 5516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7075 / 5516 ti = "14/7075/5516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7075/5516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7075 ÷ 214
    7075 ÷ 16384     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5516 ÷ 214
    5516 ÷ 16384     		y = 0.336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336669921875 × 2 - 1) × π
    0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02623314706616))-π/2
    2×atan(2.79053447912819)-π/2
    2×1.22669840657652-π/2
    2.45339681315303-1.57079632675     		φ = 0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7075 KachelY 5516 -0.42836414 0.88260049 -24.543457 50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 7076 KachelY 5516 -0.42798064 0.88260049 -24.521484 50.569283
    Unten links KachelX 7075 KachelY + 1 5517 -0.42836414 0.88235688 -24.543457 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 7076 KachelY + 1 5517 -0.42798064 0.88235688 -24.521484 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88260049-0.88235688) × R
    0.00024360999999995 × 6371000     		dl = 1552.03930999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88260049-0.88235688) × R
    0.00024360999999995 × 6371000     		dr = 1552.03930999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(0.88260049) × R
    0.000383499999999981 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 1551.83537359966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(0.88235688) × R
    0.000383499999999981 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 1552.29506143105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88260049)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.42798064--0.42836414)×0.000188143853181444×R²
    0.000383499999999981×0.000188143853181444×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188143853181444×40589641000000     		ar = 2408866.24118118m²