Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7075 / 2006
↖ ↑ ↗
← N 79.343349°
W 24.543457°		 ← 451.82 m → N 79.343349°
W 24.521484°		 →
↑
451.90 m
↓
↑
451.90 m
↓
N 79.339285°
W 24.543457°		 ← 451.99 m →
204 213 m²		 N 79.339285°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431854248046875 y=0.122467041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431854248046875 × 214)
    floor (0.431854248046875 × 16384)
    floor (7075.5)     		tx = 7075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122467041015625 × 214)
    floor (0.122467041015625 × 16384)
    floor (2006.5)     		ty = 2006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7075 / 2006 ti = "14/7075/2006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7075/2006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7075 ÷ 214
    7075 ÷ 16384     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2006 ÷ 214
    2006 ÷ 16384     		y = 0.1224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1224365234375 × 2 - 1) × π
    0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37230128839734))-π/2
    2×atan(10.722038416909)-π/2
    2×1.47779950151067-π/2
    2.95559900302135-1.57079632675     		φ = 1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7075 KachelY 2006 -0.42836414 1.38480268 -24.543457 79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 7076 KachelY 2006 -0.42798064 1.38480268 -24.521484 79.343349
    Unten links KachelX 7075 KachelY + 1 2007 -0.42836414 1.38473175 -24.543457 79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 7076 KachelY + 1 2007 -0.42798064 1.38473175 -24.521484 79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38480268-1.38473175) × R
    7.09299999999136e-05 × 6371000     		dl = 451.895029999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38480268-1.38473175) × R
    7.09299999999136e-05 × 6371000     		dr = 451.895029999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(1.38480268) × R
    0.000383499999999981 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 451.818717489066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(1.38473175) × R
    0.000383499999999981 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 451.989029159024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38480268)-sin(1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184992840218193)×R²
    abs(-0.42798064--0.42836414)×6.97062041670748e-05×R²
    0.000383499999999981×6.97062041670748e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.97062041670748e-05×40589641000000     		ar = 204213.114478614m²