Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7075 / 1761
↖ ↑ ↗
← N 80.294223°
W 24.543457°		 ← 411.91 m → N 80.294223°
W 24.521484°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
N 80.290519°
W 24.543457°		 ← 412.07 m →
169 718 m²		 N 80.290519°
W 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431854248046875 y=0.107513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431854248046875 × 214)
    floor (0.431854248046875 × 16384)
    floor (7075.5)     		tx = 7075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107513427734375 × 214)
    floor (0.107513427734375 × 16384)
    floor (1761.5)     		ty = 1761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7075 / 1761 ti = "14/7075/1761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7075/1761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7075 ÷ 214
    7075 ÷ 16384     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1761 ÷ 214
    1761 ÷ 16384     		y = 0.10748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10748291015625 × 2 - 1) × π
    0.7850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46625761165265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46625761165265))-π/2
    2×atan(11.7782853505969)-π/2
    2×1.48609744865823-π/2
    2.97219489731647-1.57079632675     		φ = 1.40139857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40139857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.294223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7075 KachelY 1761 -0.42836414 1.40139857 -24.543457 80.294223
    Oben rechts KachelX + 1 7076 KachelY 1761 -0.42798064 1.40139857 -24.521484 80.294223
    Unten links KachelX 7075 KachelY + 1 1762 -0.42836414 1.40133391 -24.543457 80.290519
    Unten rechts KachelX + 1 7076 KachelY + 1 1762 -0.42798064 1.40133391 -24.521484 80.290519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40139857-1.40133391) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dl = 411.948860000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40139857-1.40133391) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dr = 411.948860000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(1.40139857) × R
    0.000383499999999981 × 0.168588756692998 × 6371000     		do = 411.909284569712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42798064) × cos(1.40133391) × R
    0.000383499999999981 × 0.168652490828134 × 6371000     		du = 412.065004811808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40139857)-sin(1.40133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168588756692998-0.168652490828134)×R²
    abs(-0.42798064--0.42836414)×6.37341351365506e-05×R²
    0.000383499999999981×6.37341351365506e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.37341351365506e-05×40589641000000     		ar = 169717.634649998m²