Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7074 / 9186
↖ ↑ ↗
← N 78.096030°
W141.141358°		 ← 126 m → N 78.096030°
W141.135864°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.094896°
W141.141358°		 ← 126.01 m →
15 879 m²		 N 78.094896°
W141.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107948303222656 y=0.140174865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107948303222656 × 216)
    floor (0.107948303222656 × 65536)
    floor (7074.5)     		tx = 7074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140174865722656 × 216)
    floor (0.140174865722656 × 65536)
    floor (9186.5)     		ty = 9186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7074 / 9186 ti = "16/7074/9186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7074/9186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7074 ÷ 216
    7074 ÷ 65536     		x = 0.107940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9186 ÷ 216
    9186 ÷ 65536     		y = 0.140167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.78411865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46338140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    0.71966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26089593368033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46338140} λ = -2.46338140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26089593368033))-π/2
    2×atan(9.59167882641859)-π/2
    2×1.46691458836704-π/2
    2.93382917673408-1.57079632675     		φ = 1.36303285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46338140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36303285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.096030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7074 KachelY 9186 -2.46338140 1.36303285 -141.141358 78.096030
    Oben rechts KachelX + 1 7075 KachelY 9186 -2.46328552 1.36303285 -141.135864 78.096030
    Unten links KachelX 7074 KachelY + 1 9187 -2.46338140 1.36301307 -141.141358 78.094896
    Unten rechts KachelX + 1 7075 KachelY + 1 9187 -2.46328552 1.36301307 -141.135864 78.094896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36303285-1.36301307) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36303285-1.36301307) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46338140--2.46328552) × cos(1.36303285) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206271991471827 × 6371000     		do = 126.00155127303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46338140--2.46328552) × cos(1.36301307) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206291346056515 × 6371000     		du = 126.013374049731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36303285)-sin(1.36301307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206271991471827-0.206291346056515)×R²
    abs(-2.46328552--2.46338140)×1.93545846876031e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93545846876031e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93545846876031e-05×40589641000000     		ar = 15879.2563130627m²