Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7074 / 5537
↖ ↑ ↗
← N 75.756237°
W102.282715°		 ← 300.58 m → N 75.756237°
W102.271728°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
N 75.753534°
W102.282715°		 ← 300.64 m →
90 358 m²		 N 75.753534°
W102.271728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215896606445312 y=0.168991088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215896606445312 × 215)
    floor (0.215896606445312 × 32768)
    floor (7074.5)     		tx = 7074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168991088867188 × 215)
    floor (0.168991088867188 × 32768)
    floor (5537.5)     		ty = 5537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7074 / 5537 ti = "15/7074/5537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7074/5537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7074 ÷ 215
    7074 ÷ 32768     		x = 0.21588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5537 ÷ 215
    5537 ÷ 32768     		y = 0.168975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.5682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.78517014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168975830078125 × 2 - 1) × π
    0.66204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.079886200715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78517014} λ = -1.78517014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.079886200715))-π/2
    2×atan(8.00355806328515)-π/2
    2×1.44649604772248-π/2
    2.89299209544497-1.57079632675     		φ = 1.32219577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78517014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32219577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.756237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7074 KachelY 5537 -1.78517014 1.32219577 -102.282715 75.756237
    Oben rechts KachelX + 1 7075 KachelY 5537 -1.78497839 1.32219577 -102.271728 75.756237
    Unten links KachelX 7074 KachelY + 1 5538 -1.78517014 1.32214859 -102.282715 75.753534
    Unten rechts KachelX + 1 7075 KachelY + 1 5538 -1.78497839 1.32214859 -102.271728 75.753534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32219577-1.32214859) × R
    4.71799999999245e-05 × 6371000     		dl = 300.583779999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32219577-1.32214859) × R
    4.71799999999245e-05 × 6371000     		dr = 300.583779999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78517014--1.78497839) × cos(1.32219577) × R
    0.000191749999999935 × 0.246047779529183 × 6371000     		do = 300.581624848094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78517014--1.78497839) × cos(1.32214859) × R
    0.000191749999999935 × 0.246093508833635 × 6371000     		du = 300.637489561289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32219577)-sin(1.32214859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246047779529183-0.246093508833635)×R²
    abs(-1.78497839--1.78517014)×4.57293044523188e-05×R²
    0.000191749999999935×4.57293044523188e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.57293044523188e-05×40589641000000     		ar = 90358.3570254006m²