Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7074 / 5219
↖ ↑ ↗
← N 76.590904°
W102.282715°		 ← 283.30 m → N 76.590904°
W102.271728°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 76.588356°
W102.282715°		 ← 283.35 m →
80 272 m²		 N 76.588356°
W102.271728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215896606445312 y=0.159286499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215896606445312 × 215)
    floor (0.215896606445312 × 32768)
    floor (7074.5)     		tx = 7074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159286499023438 × 215)
    floor (0.159286499023438 × 32768)
    floor (5219.5)     		ty = 5219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7074 / 5219 ti = "15/7074/5219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7074/5219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7074 ÷ 215
    7074 ÷ 32768     		x = 0.21588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5219 ÷ 215
    5219 ÷ 32768     		y = 0.159271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.5682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.78517014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159271240234375 × 2 - 1) × π
    0.68145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14086193703171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78517014} λ = -1.78517014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14086193703171))-π/2
    2×atan(8.50676676710122)-π/2
    2×1.45377988881965-π/2
    2.90755977763929-1.57079632675     		φ = 1.33676345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78517014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33676345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.590904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7074 KachelY 5219 -1.78517014 1.33676345 -102.282715 76.590904
    Oben rechts KachelX + 1 7075 KachelY 5219 -1.78497839 1.33676345 -102.271728 76.590904
    Unten links KachelX 7074 KachelY + 1 5220 -1.78517014 1.33671898 -102.282715 76.588356
    Unten rechts KachelX + 1 7075 KachelY + 1 5220 -1.78497839 1.33671898 -102.271728 76.588356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33676345-1.33671898) × R
    4.44700000001852e-05 × 6371000     		dl = 283.31837000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33676345-1.33671898) × R
    4.44700000001852e-05 × 6371000     		dr = 283.31837000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78517014--1.78497839) × cos(1.33676345) × R
    0.000191749999999935 × 0.231902335580046 × 6371000     		do = 283.300995311159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78517014--1.78497839) × cos(1.33671898) × R
    0.000191749999999935 × 0.231945593057365 × 6371000     		du = 283.353840343308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33676345)-sin(1.33671898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231902335580046-0.231945593057365)×R²
    abs(-1.78497839--1.78517014)×4.32574773191197e-05×R²
    0.000191749999999935×4.32574773191197e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.32574773191197e-05×40589641000000     		ar = 80271.8622084972m²