Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7073 / 5220
↖ ↑ ↗
← N 76.588356°
W102.293701°		 ← 283.35 m → N 76.588356°
W102.282715°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 76.585807°
W102.293701°		 ← 283.41 m →
80 305 m²		 N 76.585807°
W102.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215866088867188 y=0.159317016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215866088867188 × 215)
    floor (0.215866088867188 × 32768)
    floor (7073.5)     		tx = 7073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159317016601562 × 215)
    floor (0.159317016601562 × 32768)
    floor (5220.5)     		ty = 5220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7073 / 5220 ti = "15/7073/5220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7073/5220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7073 ÷ 215
    7073 ÷ 32768     		x = 0.215850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5220 ÷ 215
    5220 ÷ 32768     		y = 0.1593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.56829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78536189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1593017578125 × 2 - 1) × π
    0.681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14067018943323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78536189} λ = -1.78536189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14067018943323))-π/2
    2×atan(8.50513577137754)-π/2
    2×1.45375765338815-π/2
    2.9075153067763-1.57079632675     		φ = 1.33671898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78536189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33671898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.588356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7073 KachelY 5220 -1.78536189 1.33671898 -102.293701 76.588356
    Oben rechts KachelX + 1 7074 KachelY 5220 -1.78517014 1.33671898 -102.282715 76.588356
    Unten links KachelX 7073 KachelY + 1 5221 -1.78536189 1.33667450 -102.293701 76.585807
    Unten rechts KachelX + 1 7074 KachelY + 1 5221 -1.78517014 1.33667450 -102.282715 76.585807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33671898-1.33667450) × R
    4.44799999999024e-05 × 6371000     		dl = 283.382079999378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33671898-1.33667450) × R
    4.44799999999024e-05 × 6371000     		dr = 283.382079999378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78536189--1.78517014) × cos(1.33671898) × R
    0.000191749999999935 × 0.231945593057365 × 6371000     		do = 283.353840343308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78536189--1.78517014) × cos(1.33667450) × R
    0.000191749999999935 × 0.231988859803177 × 6371000     		du = 283.406696698212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33671898)-sin(1.33667450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231945593057365-0.231988859803177)×R²
    abs(-1.78517014--1.78536189)×4.32667458120928e-05×R²
    0.000191749999999935×4.32667458120928e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.32667458120928e-05×40589641000000     		ar = 80304.8899372257m²