Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70722 / 96834
↖ ↑ ↗
← S 64.851272°
E 14.243774°		 ← 129.80 m → S 64.851272°
E 14.246521°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
S 64.852439°
E 14.243774°		 ← 129.79 m →
16 844 m²		 S 64.852439°
E 14.246521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539569854736328 y=0.738788604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539569854736328 × 217)
    floor (0.539569854736328 × 131072)
    floor (70722.5)     		tx = 70722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738788604736328 × 217)
    floor (0.738788604736328 × 131072)
    floor (96834.5)     		ty = 96834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70722 / 96834 ti = "17/70722/96834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70722/96834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70722 ÷ 217
    70722 ÷ 131072     		x = 0.539566040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96834 ÷ 217
    96834 ÷ 131072     		y = 0.738784790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539566040039062 × 2 - 1) × π
    0.079132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24860076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738784790039062 × 2 - 1) × π
    -0.477569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50032908430852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24860076} λ = 0.24860076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50032908430852))-π/2
    2×atan(0.223056743594748)-π/2
    2×0.219464054971474-π/2
    0.438928109942948-1.57079632675     		φ = -1.13186822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24860076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13186822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.851272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70722 KachelY 96834 0.24860076 -1.13186822 14.243774 -64.851272
    Oben rechts KachelX + 1 70723 KachelY 96834 0.24864870 -1.13186822 14.246521 -64.851272
    Unten links KachelX 70722 KachelY + 1 96835 0.24860076 -1.13188859 14.243774 -64.852439
    Unten rechts KachelX + 1 70723 KachelY + 1 96835 0.24864870 -1.13188859 14.246521 -64.852439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13186822--1.13188859) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dl = 129.77726999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13186822--1.13188859) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dr = 129.77726999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24860076-0.24864870) × cos(-1.13186822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424969423398972 × 6371000     		do = 129.796600618994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24860076-0.24864870) × cos(-1.13188859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424950984229855 × 6371000     		du = 129.790968822122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13186822)-sin(-1.13188859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424969423398972-0.424950984229855)×R²
    abs(0.24864870-0.24860076)×1.84391691170349e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84391691170349e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84391691170349e-05×40589641000000     		ar = 16844.2830443605m²