Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70722 / 95958
↖ ↑ ↗
← S 63.809168°
E 14.243774°		 ← 134.80 m → S 63.809168°
E 14.246521°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
S 63.810380°
E 14.243774°		 ← 134.80 m →
18 173 m²		 S 63.810380°
E 14.246521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539569854736328 y=0.732105255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539569854736328 × 217)
    floor (0.539569854736328 × 131072)
    floor (70722.5)     		tx = 70722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732105255126953 × 217)
    floor (0.732105255126953 × 131072)
    floor (95958.5)     		ty = 95958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70722 / 95958 ti = "17/70722/95958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70722/95958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70722 ÷ 217
    70722 ÷ 131072     		x = 0.539566040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95958 ÷ 217
    95958 ÷ 131072     		y = 0.732101440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539566040039062 × 2 - 1) × π
    0.079132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24860076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732101440429688 × 2 - 1) × π
    -0.464202880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45833636024135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24860076} λ = 0.24860076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45833636024135))-π/2
    2×atan(0.232622953787944)-π/2
    2×0.228558127152346-π/2
    0.457116254304692-1.57079632675     		φ = -1.11368007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24860076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11368007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.809168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70722 KachelY 95958 0.24860076 -1.11368007 14.243774 -63.809168
    Oben rechts KachelX + 1 70723 KachelY 95958 0.24864870 -1.11368007 14.246521 -63.809168
    Unten links KachelX 70722 KachelY + 1 95959 0.24860076 -1.11370123 14.243774 -63.810380
    Unten rechts KachelX + 1 70723 KachelY + 1 95959 0.24864870 -1.11370123 14.246521 -63.810380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11368007--1.11370123) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11368007--1.11370123) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24860076-0.24864870) × cos(-1.11368007) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441362279316384 × 6371000     		do = 134.803400768283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24860076-0.24864870) × cos(-1.11370123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441343291735887 × 6371000     		du = 134.797601472459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11368007)-sin(-1.11370123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441362279316384-0.441343291735887)×R²
    abs(0.24864870-0.24860076)×1.89875804965656e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89875804965656e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89875804965656e-05×40589641000000     		ar = 18172.5040848257m²