Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70721 / 97344
↖ ↑ ↗
← S 65.440002°
E 14.241028°		 ← 126.95 m → S 65.440002°
E 14.243774°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.441143°
E 14.241028°		 ← 126.94 m →
16 119 m²		 S 65.441143°
E 14.243774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539562225341797 y=0.742679595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539562225341797 × 217)
    floor (0.539562225341797 × 131072)
    floor (70721.5)     		tx = 70721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742679595947266 × 217)
    floor (0.742679595947266 × 131072)
    floor (97344.5)     		ty = 97344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70721 / 97344 ti = "17/70721/97344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70721/97344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70721 ÷ 217
    70721 ÷ 131072     		x = 0.539558410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97344 ÷ 217
    97344 ÷ 131072     		y = 0.74267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539558410644531 × 2 - 1) × π
    0.0791168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24855282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24855282} λ = 0.24855282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52477690311475))-π/2
    2×atan(0.217669612861329)-π/2
    2×0.214326417670736-π/2
    0.428652835341472-1.57079632675     		φ = -1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24855282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.241028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70721 KachelY 97344 0.24855282 -1.14214349 14.241028 -65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 70722 KachelY 97344 0.24860076 -1.14214349 14.243774 -65.440002
    Unten links KachelX 70721 KachelY + 1 97345 0.24855282 -1.14216342 14.241028 -65.441143
    Unten rechts KachelX + 1 70722 KachelY + 1 97345 0.24860076 -1.14216342 14.243774 -65.441143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14214349--1.14216342) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14214349--1.14216342) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24855282-0.24860076) × cos(-1.14214349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 126.948956374186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24855282-0.24860076) × cos(-1.14216342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415627772362233 × 6371000     		du = 126.943419938277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14214349)-sin(-1.14216342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.415627772362233)×R²
    abs(0.24860076-0.24855282)×1.81269460446387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81269460446387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81269460446387e-05×40589641000000     		ar = 16118.8691036146m²