Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70720 / 97347
↖ ↑ ↗
← S 65.443426°
E 14.238281°		 ← 126.91 m → S 65.443426°
E 14.241028°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.444567°
E 14.238281°		 ← 126.90 m →
16 105 m²		 S 65.444567°
E 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539554595947266 y=0.742702484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539554595947266 × 217)
    floor (0.539554595947266 × 131072)
    floor (70720.5)     		tx = 70720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742702484130859 × 217)
    floor (0.742702484130859 × 131072)
    floor (97347.5)     		ty = 97347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70720 / 97347 ti = "17/70720/97347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70720/97347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70720 ÷ 217
    70720 ÷ 131072     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97347 ÷ 217
    97347 ÷ 131072     		y = 0.742698669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742698669433594 × 2 - 1) × π
    -0.485397338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52492071381361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52492071381361))-π/2
    2×atan(0.217638311892944)-π/2
    2×0.21429653246175-π/2
    0.428593064923499-1.57079632675     		φ = -1.14220326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14220326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.443426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70720 KachelY 97347 0.24850489 -1.14220326 14.238281 -65.443426
    Oben rechts KachelX + 1 70721 KachelY 97347 0.24855282 -1.14220326 14.241028 -65.443426
    Unten links KachelX 70720 KachelY + 1 97348 0.24850489 -1.14222318 14.238281 -65.444567
    Unten rechts KachelX + 1 70721 KachelY + 1 97348 0.24855282 -1.14222318 14.241028 -65.444567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14220326--1.14222318) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14220326--1.14222318) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-1.14220326) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41559153616591 × 6371000     		do = 126.905875134445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-1.14222318) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41557341782038 × 6371000     		du = 126.900342479674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14220326)-sin(-1.14222318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41559153616591-0.41557341782038)×R²
    abs(0.24855282-0.24850489)×1.81183455291722e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81183455291722e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81183455291722e-05×40589641000000     		ar = 16105.31414814m²