Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70720 / 96833
↖ ↑ ↗
← S 64.850104°
E 14.238281°		 ← 129.78 m → S 64.850104°
E 14.241028°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
S 64.851272°
E 14.238281°		 ← 129.77 m →
16 850 m²		 S 64.851272°
E 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539554595947266 y=0.738780975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539554595947266 × 217)
    floor (0.539554595947266 × 131072)
    floor (70720.5)     		tx = 70720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738780975341797 × 217)
    floor (0.738780975341797 × 131072)
    floor (96833.5)     		ty = 96833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70720 / 96833 ti = "17/70720/96833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70720/96833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70720 ÷ 217
    70720 ÷ 131072     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96833 ÷ 217
    96833 ÷ 131072     		y = 0.738777160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738777160644531 × 2 - 1) × π
    -0.477554321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.5002811474089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5002811474089))-π/2
    2×atan(0.223067436499766)-π/2
    2×0.219474241050837-π/2
    0.438948482101674-1.57079632675     		φ = -1.13184784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13184784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.850104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70720 KachelY 96833 0.24850489 -1.13184784 14.238281 -64.850104
    Oben rechts KachelX + 1 70721 KachelY 96833 0.24855282 -1.13184784 14.241028 -64.850104
    Unten links KachelX 70720 KachelY + 1 96834 0.24850489 -1.13186822 14.238281 -64.851272
    Unten rechts KachelX + 1 70721 KachelY + 1 96834 0.24855282 -1.13186822 14.241028 -64.851272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13184784--1.13186822) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dl = 129.840980000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13184784--1.13186822) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dr = 129.840980000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-1.13184784) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424987871443744 × 6371000     		do = 129.775159149445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-1.13186822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424969423398972 × 6371000     		du = 129.769525817044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13184784)-sin(-1.13186822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424987871443744-0.424969423398972)×R²
    abs(0.24855282-0.24850489)×1.84480447721347e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84480447721347e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84480447721347e-05×40589641000000     		ar = 16849.7681255471m²