Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7072 / 10886
↖ ↑ ↗
← S 50.819818°
W 24.609375°		 ← 1 543.53 m → S 50.819818°
W 24.587403°		 →
↑
1 543.37 m
↓
↑
1 543.37 m
↓
S 50.833698°
W 24.609375°		 ← 1 543.07 m →
2 381 889 m²		 S 50.833698°
W 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431671142578125 y=0.664459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431671142578125 × 214)
    floor (0.431671142578125 × 16384)
    floor (7072.5)     		tx = 7072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664459228515625 × 214)
    floor (0.664459228515625 × 16384)
    floor (10886.5)     		ty = 10886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7072 / 10886 ti = "14/7072/10886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7072/10886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7072 ÷ 214
    7072 ÷ 16384     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10886 ÷ 214
    10886 ÷ 16384     		y = 0.6644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03313606061145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03313606061145))-π/2
    2×atan(0.355889118827973)-π/2
    2×0.341911586436889-π/2
    0.683823172873778-1.57079632675     		φ = -0.88697315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88697315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7072 KachelY 10886 -0.42951462 -0.88697315 -24.609375 -50.819818
    Oben rechts KachelX + 1 7073 KachelY 10886 -0.42913113 -0.88697315 -24.587403 -50.819818
    Unten links KachelX 7072 KachelY + 1 10887 -0.42951462 -0.88721540 -24.609375 -50.833698
    Unten rechts KachelX + 1 7073 KachelY + 1 10887 -0.42913113 -0.88721540 -24.587403 -50.833698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88697315--0.88721540) × R
    0.000242249999999999 × 6371000     		dl = 1543.37475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88697315--0.88721540) × R
    0.000242249999999999 × 6371000     		dr = 1543.37475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42913113) × cos(-0.88697315) × R
    0.000383489999999986 × 0.631761219323209 × 6371000     		do = 1543.52835479884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42913113) × cos(-0.88721540) × R
    0.000383489999999986 × 0.631573417537511 × 6371000     		du = 1543.06951469844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88697315)-sin(-0.88721540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631761219323209-0.631573417537511)×R²
    abs(-0.42913113--0.42951462)×0.000187801785698105×R²
    0.000383489999999986×0.000187801785698105×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187801785698105×40589641000000     		ar = 2381888.61924233m²