Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70719 / 95682
↖ ↑ ↗
← S 63.472598°
E 14.235535°		 ← 136.41 m → S 63.472598°
E 14.238281°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.473825°
E 14.235535°		 ← 136.41 m →
18 606 m²		 S 63.473825°
E 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539546966552734 y=0.729999542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539546966552734 × 217)
    floor (0.539546966552734 × 131072)
    floor (70719.5)     		tx = 70719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729999542236328 × 217)
    floor (0.729999542236328 × 131072)
    floor (95682.5)     		ty = 95682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70719 / 95682 ti = "17/70719/95682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70719/95682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70719 ÷ 217
    70719 ÷ 131072     		x = 0.539543151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95682 ÷ 217
    95682 ÷ 131072     		y = 0.729995727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539543151855469 × 2 - 1) × π
    0.0790863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24845695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729995727539062 × 2 - 1) × π
    -0.459991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44510577594621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24845695} λ = 0.24845695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44510577594621))-π/2
    2×atan(0.235721141610332)-π/2
    2×0.231495251361429-π/2
    0.462990502722858-1.57079632675     		φ = -1.10780582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24845695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.235535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10780582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.472598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70719 KachelY 95682 0.24845695 -1.10780582 14.235535 -63.472598
    Oben rechts KachelX + 1 70720 KachelY 95682 0.24850489 -1.10780582 14.238281 -63.472598
    Unten links KachelX 70719 KachelY + 1 95683 0.24845695 -1.10782723 14.235535 -63.473825
    Unten rechts KachelX + 1 70720 KachelY + 1 95683 0.24850489 -1.10782723 14.238281 -63.473825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10780582--1.10782723) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10780582--1.10782723) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24845695-0.24850489) × cos(-1.10780582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446625768912342 × 6371000     		do = 136.411005973111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24845695-0.24850489) × cos(-1.10782723) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446606612836305 × 6371000     		du = 136.405155214411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10780582)-sin(-1.10782723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446625768912342-0.446606612836305)×R²
    abs(0.24850489-0.24845695)×1.91560760376408e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91560760376408e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91560760376408e-05×40589641000000     		ar = 18606.4864228924m²