Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70717 / 95680
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
E 14.230042°		 ← 136.39 m → S 63.470145°
E 14.232788°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.471371°
E 14.230042°		 ← 136.39 m →
18 604 m²		 S 63.471371°
E 14.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539531707763672 y=0.729984283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539531707763672 × 217)
    floor (0.539531707763672 × 131072)
    floor (70717.5)     		tx = 70717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729984283447266 × 217)
    floor (0.729984283447266 × 131072)
    floor (95680.5)     		ty = 95680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70717 / 95680 ti = "17/70717/95680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70717/95680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70717 ÷ 217
    70717 ÷ 131072     		x = 0.539527893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95680 ÷ 217
    95680 ÷ 131072     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539527893066406 × 2 - 1) × π
    0.0790557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24836108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24836108} λ = 0.24836108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24836108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70717 KachelY 95680 0.24836108 -1.10776300 14.230042 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 70718 KachelY 95680 0.24840901 -1.10776300 14.232788 -63.470145
    Unten links KachelX 70717 KachelY + 1 95681 0.24836108 -1.10778441 14.230042 -63.471371
    Unten rechts KachelX + 1 70718 KachelY + 1 95681 0.24840901 -1.10778441 14.232788 -63.471371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10778441) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10778441) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24836108-0.24840901) × cos(-1.10776300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 136.394250334368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24836108-0.24840901) × cos(-1.10778441) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446644924783652 × 6371000     		du = 136.388400921138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10778441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446644924783652)×R²
    abs(0.24840901-0.24836108)×1.91556665729564e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91556665729564e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91556665729564e-05×40589641000000     		ar = 18604.2009932253m²