Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70715 / 95955
↖ ↑ ↗
← S 63.805531°
E 14.224548°		 ← 134.82 m → S 63.805531°
E 14.227295°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
S 63.806744°
E 14.224548°		 ← 134.81 m →
18 175 m²		 S 63.806744°
E 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539516448974609 y=0.732082366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539516448974609 × 217)
    floor (0.539516448974609 × 131072)
    floor (70715.5)     		tx = 70715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732082366943359 × 217)
    floor (0.732082366943359 × 131072)
    floor (95955.5)     		ty = 95955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70715 / 95955 ti = "17/70715/95955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70715/95955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70715 ÷ 217
    70715 ÷ 131072     		x = 0.539512634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95955 ÷ 217
    95955 ÷ 131072     		y = 0.732078552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539512634277344 × 2 - 1) × π
    0.0790252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24826520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732078552246094 × 2 - 1) × π
    -0.464157104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45819254954249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24826520} λ = 0.24826520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45819254954249))-π/2
    2×atan(0.232656409863112)-π/2
    2×0.228589865508885-π/2
    0.457179731017771-1.57079632675     		φ = -1.11361660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24826520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.224548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11361660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.805531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70715 KachelY 95955 0.24826520 -1.11361660 14.224548 -63.805531
    Oben rechts KachelX + 1 70716 KachelY 95955 0.24831314 -1.11361660 14.227295 -63.805531
    Unten links KachelX 70715 KachelY + 1 95956 0.24826520 -1.11363776 14.224548 -63.806744
    Unten rechts KachelX + 1 70716 KachelY + 1 95956 0.24831314 -1.11363776 14.227295 -63.806744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11361660--1.11363776) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11361660--1.11363776) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24826520-0.24831314) × cos(-1.11361660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441419231899122 × 6371000     		do = 134.82079555301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24826520-0.24831314) × cos(-1.11363776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441400244911411 × 6371000     		du = 134.814996438239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11361660)-sin(-1.11363776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441419231899122-0.441400244911411)×R²
    abs(0.24831314-0.24826520)×1.89869877104121e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89869877104121e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89869877104121e-05×40589641000000     		ar = 18174.8490943745m²