Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70712 / 95951
↖ ↑ ↗
← S 63.800681°
E 14.216308°		 ← 134.84 m → S 63.800681°
E 14.219055°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
S 63.801893°
E 14.216308°		 ← 134.84 m →
18 178 m²		 S 63.801893°
E 14.219055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539493560791016 y=0.732051849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539493560791016 × 217)
    floor (0.539493560791016 × 131072)
    floor (70712.5)     		tx = 70712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732051849365234 × 217)
    floor (0.732051849365234 × 131072)
    floor (95951.5)     		ty = 95951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70712 / 95951 ti = "17/70712/95951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70712/95951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70712 ÷ 217
    70712 ÷ 131072     		x = 0.53948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95951 ÷ 217
    95951 ÷ 131072     		y = 0.732048034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53948974609375 × 2 - 1) × π
    0.0789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24812139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732048034667969 × 2 - 1) × π
    -0.464096069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45800080194401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24812139} λ = 0.24812139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45800080194401))-π/2
    2×atan(0.232701025448303)-π/2
    2×0.228632189688964-π/2
    0.457264379377927-1.57079632675     		φ = -1.11353195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24812139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.216308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11353195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.800681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70712 KachelY 95951 0.24812139 -1.11353195 14.216308 -63.800681
    Oben rechts KachelX + 1 70713 KachelY 95951 0.24816933 -1.11353195 14.219055 -63.800681
    Unten links KachelX 70712 KachelY + 1 95952 0.24812139 -1.11355311 14.216308 -63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 70713 KachelY + 1 95952 0.24816933 -1.11355311 14.219055 -63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11353195--1.11355311) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11353195--1.11355311) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24812139-0.24816933) × cos(-1.11353195) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441495186846079 × 6371000     		do = 134.843994148892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24812139-0.24816933) × cos(-1.11355311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 134.838195275626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11353195)-sin(-1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441495186846079-0.441476200649088)×R²
    abs(0.24816933-0.24812139)×1.89861969918659e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89861969918659e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89861969918659e-05×40589641000000     		ar = 18177.9765214689m²