Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7071 / 3804
↖ ↑ ↗
← N 68.942607°
W 24.631348°		 ← 877.88 m → N 68.942607°
W 24.609375°		 →
↑
877.99 m
↓
↑
877.99 m
↓
N 68.934711°
W 24.631348°		 ← 878.19 m →
770 903 m²		 N 68.934711°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431610107421875 y=0.232208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431610107421875 × 214)
    floor (0.431610107421875 × 16384)
    floor (7071.5)     		tx = 7071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232208251953125 × 214)
    floor (0.232208251953125 × 16384)
    floor (3804.5)     		ty = 3804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7071 / 3804 ti = "14/7071/3804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7071/3804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7071 ÷ 214
    7071 ÷ 16384     		x = 0.43157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3804 ÷ 214
    3804 ÷ 16384     		y = 0.232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.1368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42989812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232177734375 × 2 - 1) × π
    0.53564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68277692426245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42989812} λ = -0.42989812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68277692426245))-π/2
    2×atan(5.38047642057075)-π/2
    2×1.38703590533086-π/2
    2.77407181066172-1.57079632675     		φ = 1.20327548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42989812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20327548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.942607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7071 KachelY 3804 -0.42989812 1.20327548 -24.631348 68.942607
    Oben rechts KachelX + 1 7072 KachelY 3804 -0.42951462 1.20327548 -24.609375 68.942607
    Unten links KachelX 7071 KachelY + 1 3805 -0.42989812 1.20313767 -24.631348 68.934711
    Unten rechts KachelX + 1 7072 KachelY + 1 3805 -0.42951462 1.20313767 -24.609375 68.934711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20327548-1.20313767) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dl = 877.987510000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20327548-1.20313767) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dr = 877.987510000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42989812--0.42951462) × cos(1.20327548) × R
    0.000383499999999981 × 0.359302940725674 × 6371000     		do = 877.87715006177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42989812--0.42951462) × cos(1.20313767) × R
    0.000383499999999981 × 0.359431544496599 × 6371000     		du = 878.19136489029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20327548)-sin(1.20313767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359302940725674-0.359431544496599)×R²
    abs(-0.42951462--0.42989812)×0.000128603770924995×R²
    0.000383499999999981×0.000128603770924995×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128603770924995×40589641000000     		ar = 770903.11263526m²