Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70703 / 97135
↖ ↑ ↗
← S 65.200316°
E 14.191589°		 ← 128.11 m → S 65.200316°
E 14.194336°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
S 65.201468°
E 14.191589°		 ← 128.10 m →
16 413 m²		 S 65.201468°
E 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539424896240234 y=0.741085052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539424896240234 × 217)
    floor (0.539424896240234 × 131072)
    floor (70703.5)     		tx = 70703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741085052490234 × 217)
    floor (0.741085052490234 × 131072)
    floor (97135.5)     		ty = 97135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70703 / 97135 ti = "17/70703/97135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70703/97135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70703 ÷ 217
    70703 ÷ 131072     		x = 0.539421081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97135 ÷ 217
    97135 ÷ 131072     		y = 0.741081237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539421081542969 × 2 - 1) × π
    0.0788421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24768996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741081237792969 × 2 - 1) × π
    -0.482162475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51475809109415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24768996} λ = 0.24768996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51475809109415))-π/2
    2×atan(0.219861364837351)-π/2
    2×0.216418066140635-π/2
    0.43283613228127-1.57079632675     		φ = -1.13796019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24768996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.191589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13796019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.200316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70703 KachelY 97135 0.24768996 -1.13796019 14.191589 -65.200316
    Oben rechts KachelX + 1 70704 KachelY 97135 0.24773790 -1.13796019 14.194336 -65.200316
    Unten links KachelX 70703 KachelY + 1 97136 0.24768996 -1.13798030 14.191589 -65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 70704 KachelY + 1 97136 0.24773790 -1.13798030 14.194336 -65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13796019--1.13798030) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13796019--1.13798030) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24768996-0.24773790) × cos(-1.13796019) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.419447073596274 × 6371000     		do = 128.109932844041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24768996-0.24773790) × cos(-1.13798030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 128.104357133312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13796019)-sin(-1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419447073596274-0.419428818059824)×R²
    abs(0.24773790-0.24768996)×1.82555364492409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82555364492409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82555364492409e-05×40589641000000     		ar = 16413.1911831065m²