Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7070 / 9123
↖ ↑ ↗
← N 78.167204°
W141.163330°		 ← 125.25 m → N 78.167204°
W141.157837°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
N 78.166077°
W141.163330°		 ← 125.26 m →
15 688 m²		 N 78.166077°
W141.157837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107887268066406 y=0.139213562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107887268066406 × 216)
    floor (0.107887268066406 × 65536)
    floor (7070.5)     		tx = 7070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139213562011719 × 216)
    floor (0.139213562011719 × 65536)
    floor (9123.5)     		ty = 9123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7070 / 9123 ti = "16/7070/9123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7070/9123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7070 ÷ 216
    7070 ÷ 65536     		x = 0.107879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9123 ÷ 216
    9123 ÷ 65536     		y = 0.139205932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.78424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46376489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139205932617188 × 2 - 1) × π
    0.721588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26693598303246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46376489} λ = -2.46376489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26693598303246))-π/2
    2×atan(9.649788355448)-π/2
    2×1.46753569747711-π/2
    2.93507139495422-1.57079632675     		φ = 1.36427507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46376489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36427507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.167204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7070 KachelY 9123 -2.46376489 1.36427507 -141.163330 78.167204
    Oben rechts KachelX + 1 7071 KachelY 9123 -2.46366902 1.36427507 -141.157837 78.167204
    Unten links KachelX 7070 KachelY + 1 9124 -2.46376489 1.36425541 -141.163330 78.166077
    Unten rechts KachelX + 1 7071 KachelY + 1 9124 -2.46366902 1.36425541 -141.157837 78.166077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36427507-1.36425541) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36427507-1.36425541) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46376489--2.46366902) × cos(1.36427507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20505632695585 × 6371000     		do = 125.245896665752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46376489--2.46366902) × cos(1.36425541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205075569144637 × 6371000     		du = 125.257649559331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36427507)-sin(1.36425541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20505632695585-0.205075569144637)×R²
    abs(-2.46366902--2.46376489)×1.9242188787516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9242188787516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9242188787516e-05×40589641000000     		ar = 15688.268054836m²