Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7070 / 1993
↖ ↑ ↗
← N 79.396042°
W 24.653320°		 ← 449.60 m → N 79.396042°
W 24.631348°		 →
↑
449.67 m
↓
↑
449.67 m
↓
N 79.391998°
W 24.653320°		 ← 449.77 m →
202 207 m²		 N 79.391998°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431549072265625 y=0.121673583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431549072265625 × 214)
    floor (0.431549072265625 × 16384)
    floor (7070.5)     		tx = 7070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121673583984375 × 214)
    floor (0.121673583984375 × 16384)
    floor (1993.5)     		ty = 1993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7070 / 1993 ti = "14/7070/1993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7070/1993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7070 ÷ 214
    7070 ÷ 16384     		x = 0.4315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1993 ÷ 214
    1993 ÷ 16384     		y = 0.12164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12164306640625 × 2 - 1) × π
    0.7567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37728672595782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43028161} λ = -0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37728672595782))-π/2
    2×atan(10.7756259375855)-π/2
    2×1.47825933543657-π/2
    2.95651867087314-1.57079632675     		φ = 1.38572234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38572234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.396042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7070 KachelY 1993 -0.43028161 1.38572234 -24.653320 79.396042
    Oben rechts KachelX + 1 7071 KachelY 1993 -0.42989812 1.38572234 -24.631348 79.396042
    Unten links KachelX 7070 KachelY + 1 1994 -0.43028161 1.38565176 -24.653320 79.391998
    Unten rechts KachelX + 1 7071 KachelY + 1 1994 -0.42989812 1.38565176 -24.631348 79.391998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38572234-1.38565176) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dl = 449.665180000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38572234-1.38565176) × R
    7.05800000000423e-05 × 6371000     		dr = 449.665180000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(1.38572234) × R
    0.000383489999999986 × 0.184019257327281 × 6371000     		do = 449.598571146812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(1.38565176) × R
    0.000383489999999986 × 0.184088631548687 × 6371000     		du = 449.768067270596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38572234)-sin(1.38565176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184019257327281-0.184088631548687)×R²
    abs(-0.42989812--0.43028161)×6.93742214061543e-05×R²
    0.000383489999999986×6.93742214061543e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.93742214061543e-05×40589641000000     		ar = 202206.930758177m²