Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7070 / 1766
↖ ↑ ↗
← N 80.275684°
W 24.653320°		 ← 412.68 m → N 80.275684°
W 24.631348°		 →
↑
412.78 m
↓
↑
412.78 m
↓
N 80.271972°
W 24.653320°		 ← 412.83 m →
170 376 m²		 N 80.271972°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431549072265625 y=0.107818603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431549072265625 × 214)
    floor (0.431549072265625 × 16384)
    floor (7070.5)     		tx = 7070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107818603515625 × 214)
    floor (0.107818603515625 × 16384)
    floor (1766.5)     		ty = 1766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7070 / 1766 ti = "14/7070/1766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7070/1766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7070 ÷ 214
    7070 ÷ 16384     		x = 0.4315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1766 ÷ 214
    1766 ÷ 16384     		y = 0.1077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1077880859375 × 2 - 1) × π
    0.784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46434013566785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43028161} λ = -0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46434013566785))-π/2
    2×atan(11.7557224101563)-π/2
    2×1.48593566337404-π/2
    2.97187132674808-1.57079632675     		φ = 1.40107500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40107500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.275684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7070 KachelY 1766 -0.43028161 1.40107500 -24.653320 80.275684
    Oben rechts KachelX + 1 7071 KachelY 1766 -0.42989812 1.40107500 -24.631348 80.275684
    Unten links KachelX 7070 KachelY + 1 1767 -0.43028161 1.40101021 -24.653320 80.271972
    Unten rechts KachelX + 1 7071 KachelY + 1 1767 -0.42989812 1.40101021 -24.631348 80.271972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40107500-1.40101021) × R
    6.47900000001478e-05 × 6371000     		dl = 412.777090000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40107500-1.40101021) × R
    6.47900000001478e-05 × 6371000     		dr = 412.777090000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(1.40107500) × R
    0.000383489999999986 × 0.16890768643541 × 6371000     		do = 412.677757643661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43028161--0.42989812) × cos(1.40101021) × R
    0.000383489999999986 × 0.168971545170046 × 6371000     		du = 412.833778248594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40107500)-sin(1.40101021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16890768643541-0.168971545170046)×R²
    abs(-0.42989812--0.43028161)×6.38587346357966e-05×R²
    0.000383489999999986×6.38587346357966e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.38587346357966e-05×40589641000000     		ar = 170376.124834141m²