Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70698 / 95912
↖ ↑ ↗
← S 63.753350°
E 14.177857°		 ← 135.04 m → S 63.753350°
E 14.180603°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
S 63.754564°
E 14.177857°		 ← 135.04 m →
18 239 m²		 S 63.754564°
E 14.180603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539386749267578 y=0.731754302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539386749267578 × 217)
    floor (0.539386749267578 × 131072)
    floor (70698.5)     		tx = 70698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731754302978516 × 217)
    floor (0.731754302978516 × 131072)
    floor (95912.5)     		ty = 95912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70698 / 95912 ti = "17/70698/95912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70698/95912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70698 ÷ 217
    70698 ÷ 131072     		x = 0.539382934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95912 ÷ 217
    95912 ÷ 131072     		y = 0.73175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539382934570312 × 2 - 1) × π
    0.078765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24745028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.4635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45613126285883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24745028} λ = 0.24745028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45613126285883))-π/2
    2×atan(0.23313647602965)-π/2
    2×0.229045232234336-π/2
    0.458090464468672-1.57079632675     		φ = -1.11270586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24745028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.177857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11270586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.753350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70698 KachelY 95912 0.24745028 -1.11270586 14.177857 -63.753350
    Oben rechts KachelX + 1 70699 KachelY 95912 0.24749821 -1.11270586 14.180603 -63.753350
    Unten links KachelX 70698 KachelY + 1 95913 0.24745028 -1.11272706 14.177857 -63.754564
    Unten rechts KachelX + 1 70699 KachelY + 1 95913 0.24749821 -1.11272706 14.180603 -63.754564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11270586--1.11272706) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dl = 135.065200001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11270586--1.11272706) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dr = 135.065200001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24745028-0.24749821) × cos(-1.11270586) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44223625662028 × 6371000     		do = 135.042161061174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24745028-0.24749821) × cos(-1.11272706) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.442217242270645 × 6371000     		du = 135.03635480077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11270586)-sin(-1.11272706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44223625662028-0.442217242270645)×R²
    abs(0.24749821-0.24745028)×1.9014349634805e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9014349634805e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9014349634805e-05×40589641000000     		ar = 18239.1043811035m²