Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70690 / 95854
↖ ↑ ↗
← S 63.682813°
E 14.155884°		 ← 135.41 m → S 63.682813°
E 14.158631°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.684030°
E 14.155884°		 ← 135.40 m →
18 332 m²		 S 63.684030°
E 14.158631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539325714111328 y=0.731311798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539325714111328 × 217)
    floor (0.539325714111328 × 131072)
    floor (70690.5)     		tx = 70690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731311798095703 × 217)
    floor (0.731311798095703 × 131072)
    floor (95854.5)     		ty = 95854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70690 / 95854 ti = "17/70690/95854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70690/95854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70690 ÷ 217
    70690 ÷ 131072     		x = 0.539321899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95854 ÷ 217
    95854 ÷ 131072     		y = 0.731307983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539321899414062 × 2 - 1) × π
    0.078643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24706678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731307983398438 × 2 - 1) × π
    -0.462615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45335092268086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24706678} λ = 0.24706678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45335092268086))-π/2
    2×atan(0.233785576683073)-π/2
    2×0.229660782867611-π/2
    0.459321565735223-1.57079632675     		φ = -1.11147476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24706678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11147476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.682813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70690 KachelY 95854 0.24706678 -1.11147476 14.155884 -63.682813
    Oben rechts KachelX + 1 70691 KachelY 95854 0.24711472 -1.11147476 14.158631 -63.682813
    Unten links KachelX 70690 KachelY + 1 95855 0.24706678 -1.11149601 14.155884 -63.684030
    Unten rechts KachelX + 1 70691 KachelY + 1 95855 0.24711472 -1.11149601 14.158631 -63.684030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11147476--1.11149601) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dl = 135.383750000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11147476--1.11149601) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dr = 135.383750000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24706678-0.24711472) × cos(-1.11147476) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443340093075965 × 6371000     		do = 135.407475999385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24706678-0.24711472) × cos(-1.11149601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443321045464409 × 6371000     		du = 135.40165836853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11147476)-sin(-1.11149601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443340093075965-0.443321045464409)×R²
    abs(0.24711472-0.24706678)×1.90476115555227e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90476115555227e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90476115555227e-05×40589641000000     		ar = 18331.5780731167m²