Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7069 / 3802
↖ ↑ ↗
← N 68.958391°
W 24.675293°		 ← 877.25 m → N 68.958391°
W 24.653320°		 →
↑
877.41 m
↓
↑
877.41 m
↓
N 68.950500°
W 24.675293°		 ← 877.56 m →
769 848 m²		 N 68.950500°
W 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431488037109375 y=0.232086181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431488037109375 × 214)
    floor (0.431488037109375 × 16384)
    floor (7069.5)     		tx = 7069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232086181640625 × 214)
    floor (0.232086181640625 × 16384)
    floor (3802.5)     		ty = 3802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7069 / 3802 ti = "14/7069/3802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7069/3802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7069 ÷ 214
    7069 ÷ 16384     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3802 ÷ 214
    3802 ÷ 16384     		y = 0.2320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2320556640625 × 2 - 1) × π
    0.535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68354391465637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68354391465637))-π/2
    2×atan(5.38460477730264)-π/2
    2×1.3871736469781-π/2
    2.7743472939562-1.57079632675     		φ = 1.20355097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20355097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.958391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7069 KachelY 3802 -0.43066511 1.20355097 -24.675293 68.958391
    Oben rechts KachelX + 1 7070 KachelY 3802 -0.43028161 1.20355097 -24.653320 68.958391
    Unten links KachelX 7069 KachelY + 1 3803 -0.43066511 1.20341325 -24.675293 68.950500
    Unten rechts KachelX + 1 7070 KachelY + 1 3803 -0.43028161 1.20341325 -24.653320 68.950500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20355097-1.20341325) × R
    0.000137719999999897 × 6371000     		dl = 877.414119999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20355097-1.20341325) × R
    0.000137719999999897 × 6371000     		dr = 877.414119999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43028161) × cos(1.20355097) × R
    0.000383500000000037 × 0.359045834046651 × 6371000     		do = 877.248966840835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43028161) × cos(1.20341325) × R
    0.000383500000000037 × 0.359174367461832 × 6371000     		du = 877.563009770677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20355097)-sin(1.20341325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359045834046651-0.359174367461832)×R²
    abs(-0.43028161--0.43066511)×0.000128533415180321×R²
    0.000383500000000037×0.000128533415180321×6371000²
    0.000383500000000037×0.000128533415180321×40589641000000     		ar = 769848.404328661m²