Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7069 / 3705
↖ ↑ ↗
← N 69.710489°
W 24.675293°		 ← 847.24 m → N 69.710489°
W 24.653320°		 →
↑
847.34 m
↓
↑
847.34 m
↓
N 69.702868°
W 24.675293°		 ← 847.55 m →
718 033 m²		 N 69.702868°
W 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431488037109375 y=0.226165771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431488037109375 × 214)
    floor (0.431488037109375 × 16384)
    floor (7069.5)     		tx = 7069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226165771484375 × 214)
    floor (0.226165771484375 × 16384)
    floor (3705.5)     		ty = 3705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7069 / 3705 ti = "14/7069/3705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7069/3705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7069 ÷ 214
    7069 ÷ 16384     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3705 ÷ 214
    3705 ÷ 16384     		y = 0.22613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22613525390625 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72074294876154))-π/2
    2×atan(5.58867902441819)-π/2
    2×1.39373693926864-π/2
    2.78747387853728-1.57079632675     		φ = 1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7069 KachelY 3705 -0.43066511 1.21667755 -24.675293 69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 7070 KachelY 3705 -0.43028161 1.21667755 -24.653320 69.710489
    Unten links KachelX 7069 KachelY + 1 3706 -0.43066511 1.21654455 -24.675293 69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 7070 KachelY + 1 3706 -0.43028161 1.21654455 -24.653320 69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21667755-1.21654455) × R
    0.000132999999999939 × 6371000     		dl = 847.34299999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21667755-1.21654455) × R
    0.000132999999999939 × 6371000     		dr = 847.34299999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43028161) × cos(1.21667755) × R
    0.000383500000000037 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 847.2409146958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43028161) × cos(1.21654455) × R
    0.000383500000000037 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 847.545700509117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21667755)-sin(1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.34688869914299)×R²
    abs(-0.43028161--0.43066511)×0.000124744605789706×R²
    0.000383500000000037×0.000124744605789706×6371000²
    0.000383500000000037×0.000124744605789706×40589641000000     		ar = 718032.788503269m²