Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7068 / 2027
↖ ↑ ↗
← N 79.257682°
W 24.697266°		 ← 455.40 m → N 79.257682°
W 24.675293°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
N 79.253585°
W 24.697266°		 ← 455.57 m →
207 484 m²		 N 79.253585°
W 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431427001953125 y=0.123748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431427001953125 × 214)
    floor (0.431427001953125 × 16384)
    floor (7068.5)     		tx = 7068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123748779296875 × 214)
    floor (0.123748779296875 × 16384)
    floor (2027.5)     		ty = 2027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7068 / 2027 ti = "14/7068/2027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7068/2027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7068 ÷ 214
    7068 ÷ 16384     		x = 0.431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2027 ÷ 214
    2027 ÷ 16384     		y = 0.12371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12371826171875 × 2 - 1) × π
    0.7525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43104860} λ = -0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36424788926117))-π/2
    2×atan(10.6360363313659)-π/2
    2×1.4770519173931-π/2
    2.95410383478619-1.57079632675     		φ = 1.38330751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38330751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.257682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7068 KachelY 2027 -0.43104860 1.38330751 -24.697266 79.257682
    Oben rechts KachelX + 1 7069 KachelY 2027 -0.43066511 1.38330751 -24.675293 79.257682
    Unten links KachelX 7068 KachelY + 1 2028 -0.43104860 1.38323601 -24.697266 79.253585
    Unten rechts KachelX + 1 7069 KachelY + 1 2028 -0.43066511 1.38323601 -24.675293 79.253585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38330751-1.38323601) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38330751-1.38323601) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43104860--0.43066511) × cos(1.38330751) × R
    0.000383489999999986 × 0.186392309550045 × 6371000     		do = 455.396447434912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43104860--0.43066511) × cos(1.38323601) × R
    0.000383489999999986 × 0.186462556064473 × 6371000     		du = 455.568074757909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38330751)-sin(1.38323601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186392309550045-0.186462556064473)×R²
    abs(-0.43066511--0.43104860)×7.02465144283848e-05×R²
    0.000383489999999986×7.02465144283848e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.02465144283848e-05×40589641000000     		ar = 207484.240297634m²