Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7068 / 1756
↖ ↑ ↗
← N 80.312728°
W 24.697266°		 ← 411.12 m → N 80.312728°
W 24.675293°		 →
↑
411.18 m
↓
↑
411.18 m
↓
N 80.309030°
W 24.697266°		 ← 411.28 m →
169 078 m²		 N 80.309030°
W 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431427001953125 y=0.107208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431427001953125 × 214)
    floor (0.431427001953125 × 16384)
    floor (7068.5)     		tx = 7068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107208251953125 × 214)
    floor (0.107208251953125 × 16384)
    floor (1756.5)     		ty = 1756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7068 / 1756 ti = "14/7068/1756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7068/1756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7068 ÷ 214
    7068 ÷ 16384     		x = 0.431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1756 ÷ 214
    1756 ÷ 16384     		y = 0.107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107177734375 × 2 - 1) × π
    0.78564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46817508763745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43104860} λ = -0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46817508763745))-π/2
    2×atan(11.8008915964392)-π/2
    2×1.48625892845215-π/2
    2.97251785690431-1.57079632675     		φ = 1.40172153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40172153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.312728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7068 KachelY 1756 -0.43104860 1.40172153 -24.697266 80.312728
    Oben rechts KachelX + 1 7069 KachelY 1756 -0.43066511 1.40172153 -24.675293 80.312728
    Unten links KachelX 7068 KachelY + 1 1757 -0.43104860 1.40165699 -24.697266 80.309030
    Unten rechts KachelX + 1 7069 KachelY + 1 1757 -0.43066511 1.40165699 -24.675293 80.309030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40172153-1.40165699) × R
    6.45400000001128e-05 × 6371000     		dl = 411.184340000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40172153-1.40165699) × R
    6.45400000001128e-05 × 6371000     		dr = 411.184340000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43104860--0.43066511) × cos(1.40172153) × R
    0.000383489999999986 × 0.168270410601721 × 6371000     		do = 411.120755901482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43104860--0.43066511) × cos(1.40165699) × R
    0.000383489999999986 × 0.168334029967169 × 6371000     		du = 411.276191676077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40172153)-sin(1.40165699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168270410601721-0.168334029967169)×R²
    abs(-0.43066511--0.43104860)×6.3619365448575e-05×R²
    0.000383489999999986×6.3619365448575e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.3619365448575e-05×40589641000000     		ar = 169078.373111928m²