Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70671 / 95250
↖ ↑ ↗
← S 62.937734°
E 14.103699°		 ← 138.96 m → S 62.937734°
E 14.106446°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.938984°
E 14.103699°		 ← 138.95 m →
19 308 m²		 S 62.938984°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539180755615234 y=0.726703643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539180755615234 × 217)
    floor (0.539180755615234 × 131072)
    floor (70671.5)     		tx = 70671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726703643798828 × 217)
    floor (0.726703643798828 × 131072)
    floor (95250.5)     		ty = 95250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70671 / 95250 ti = "17/70671/95250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70671/95250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70671 ÷ 217
    70671 ÷ 131072     		x = 0.539176940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95250 ÷ 217
    95250 ÷ 131072     		y = 0.726699829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539176940917969 × 2 - 1) × π
    0.0783538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24615598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726699829101562 × 2 - 1) × π
    -0.453399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42439703531035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24615598} λ = 0.24615598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42439703531035))-π/2
    2×atan(0.240653525048408)-π/2
    2×0.236162821170411-π/2
    0.472325642340822-1.57079632675     		φ = -1.09847068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24615598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.103699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09847068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.937734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70671 KachelY 95250 0.24615598 -1.09847068 14.103699 -62.937734
    Oben rechts KachelX + 1 70672 KachelY 95250 0.24620392 -1.09847068 14.106446 -62.937734
    Unten links KachelX 70671 KachelY + 1 95251 0.24615598 -1.09849249 14.103699 -62.938984
    Unten rechts KachelX + 1 70672 KachelY + 1 95251 0.24620392 -1.09849249 14.106446 -62.938984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09847068--1.09849249) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09847068--1.09849249) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24615598-0.24620392) × cos(-1.09847068) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454958531694527 × 6371000     		do = 138.956046212104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24615598-0.24620392) × cos(-1.09849249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454939109505981 × 6371000     		du = 138.950114175795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09847068)-sin(-1.09849249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454958531694527-0.454939109505981)×R²
    abs(0.24620392-0.24615598)×1.94221885458368e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.94221885458368e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.94221885458368e-05×40589641000000     		ar = 19307.7403129564m²