Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7067 / 3699
↖ ↑ ↗
← N 69.756156°
W 24.719238°		 ← 845.41 m → N 69.756156°
W 24.697266°		 →
↑
845.56 m
↓
↑
845.56 m
↓
N 69.748551°
W 24.719238°		 ← 845.72 m →
714 976 m²		 N 69.748551°
W 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431365966796875 y=0.225799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431365966796875 × 214)
    floor (0.431365966796875 × 16384)
    floor (7067.5)     		tx = 7067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225799560546875 × 214)
    floor (0.225799560546875 × 16384)
    floor (3699.5)     		ty = 3699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7067 / 3699 ti = "14/7067/3699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7067/3699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7067 ÷ 214
    7067 ÷ 16384     		x = 0.43133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3699 ÷ 214
    3699 ÷ 16384     		y = 0.22576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22576904296875 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43143210} λ = -0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7230439199433))-π/2
    2×atan(5.60155321969349)-π/2
    2×1.39413545596328-π/2
    2.78827091192656-1.57079632675     		φ = 1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7067 KachelY 3699 -0.43143210 1.21747459 -24.719238 69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 7068 KachelY 3699 -0.43104860 1.21747459 -24.697266 69.756156
    Unten links KachelX 7067 KachelY + 1 3700 -0.43143210 1.21734187 -24.719238 69.748551
    Unten rechts KachelX + 1 7068 KachelY + 1 3700 -0.43104860 1.21734187 -24.697266 69.748551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21747459-1.21734187) × R
    0.000132719999999864 × 6371000     		dl = 845.559119999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21747459-1.21734187) × R
    0.000132719999999864 × 6371000     		dr = 845.559119999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43143210--0.43104860) × cos(1.21747459) × R
    0.000383499999999981 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 845.414085940564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43143210--0.43104860) × cos(1.21734187) × R
    0.000383499999999981 × 0.346140777508011 × 6371000     		du = 845.718319658565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21747459)-sin(1.21734187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.346140777508011)×R²
    abs(-0.43104860--0.43143210)×0.000124518640834848×R²
    0.000383499999999981×0.000124518640834848×6371000²
    0.000383499999999981×0.000124518640834848×40589641000000     		ar = 714976.215389008m²