Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70669 / 95253
↖ ↑ ↗
← S 62.941483°
E 14.098206°		 ← 138.91 m → S 62.941483°
E 14.100952°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.942732°
E 14.098206°		 ← 138.90 m →
19 292 m²		 S 62.942732°
E 14.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539165496826172 y=0.726726531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539165496826172 × 217)
    floor (0.539165496826172 × 131072)
    floor (70669.5)     		tx = 70669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726726531982422 × 217)
    floor (0.726726531982422 × 131072)
    floor (95253.5)     		ty = 95253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70669 / 95253 ti = "17/70669/95253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70669/95253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70669 ÷ 217
    70669 ÷ 131072     		x = 0.539161682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95253 ÷ 217
    95253 ÷ 131072     		y = 0.726722717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539161682128906 × 2 - 1) × π
    0.0783233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24606011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726722717285156 × 2 - 1) × π
    -0.453445434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42454084600921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24606011} λ = 0.24606011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42454084600921))-π/2
    2×atan(0.240618918985208)-π/2
    2×0.236130109313192-π/2
    0.472260218626385-1.57079632675     		φ = -1.09853611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24606011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.098206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09853611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.941483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70669 KachelY 95253 0.24606011 -1.09853611 14.098206 -62.941483
    Oben rechts KachelX + 1 70670 KachelY 95253 0.24610804 -1.09853611 14.100952 -62.941483
    Unten links KachelX 70669 KachelY + 1 95254 0.24606011 -1.09855791 14.098206 -62.942732
    Unten rechts KachelX + 1 70670 KachelY + 1 95254 0.24610804 -1.09855791 14.100952 -62.942732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09853611--1.09855791) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09853611--1.09855791) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24606011-0.24610804) × cos(-1.09853611) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454900264479688 × 6371000     		do = 138.909268209059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24606011-0.24610804) × cos(-1.09855791) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454880850547482 × 6371000     		du = 138.90333993131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09853611)-sin(-1.09855791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454900264479688-0.454880850547482)×R²
    abs(0.24610804-0.24606011)×1.94139322060027e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94139322060027e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94139322060027e-05×40589641000000     		ar = 19292.3909791676m²