Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70668 / 95758
↖ ↑ ↗
← S 63.565675°
E 14.095459°		 ← 135.97 m → S 63.565675°
E 14.098206°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.566898°
E 14.095459°		 ← 135.96 m →
18 485 m²		 S 63.566898°
E 14.098206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539157867431641 y=0.730579376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539157867431641 × 217)
    floor (0.539157867431641 × 131072)
    floor (70668.5)     		tx = 70668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730579376220703 × 217)
    floor (0.730579376220703 × 131072)
    floor (95758.5)     		ty = 95758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70668 / 95758 ti = "17/70668/95758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70668/95758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70668 ÷ 217
    70668 ÷ 131072     		x = 0.539154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95758 ÷ 217
    95758 ÷ 131072     		y = 0.730575561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539154052734375 × 2 - 1) × π
    0.07830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24601217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730575561523438 × 2 - 1) × π
    -0.461151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44874898031734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24601217} λ = 0.24601217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44874898031734))-π/2
    2×atan(0.234863923774883)-π/2
    2×0.23068300179366-π/2
    0.46136600358732-1.57079632675     		φ = -1.10943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24601217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.095459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.565675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70668 KachelY 95758 0.24601217 -1.10943032 14.095459 -63.565675
    Oben rechts KachelX + 1 70669 KachelY 95758 0.24606011 -1.10943032 14.098206 -63.565675
    Unten links KachelX 70668 KachelY + 1 95759 0.24601217 -1.10945166 14.095459 -63.566898
    Unten rechts KachelX + 1 70669 KachelY + 1 95759 0.24606011 -1.10945166 14.098206 -63.566898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10943032--1.10945166) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10943032--1.10945166) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24601217-0.24606011) × cos(-1.10943032) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		do = 135.966897789274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24601217-0.24606011) × cos(-1.10945166) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445152597284711 × 6371000     		du = 135.961061438594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10943032)-sin(-1.10945166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445171706187187-0.445152597284711)×R²
    abs(0.24606011-0.24601217)×1.91089024769719e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91089024769719e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91089024769719e-05×40589641000000     		ar = 18485.2738119954m²