Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70667 / 95255
↖ ↑ ↗
← S 62.943981°
E 14.092712°		 ← 138.93 m → S 62.943981°
E 14.095459°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.945230°
E 14.092712°		 ← 138.92 m →
19 295 m²		 S 62.945230°
E 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539150238037109 y=0.726741790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539150238037109 × 217)
    floor (0.539150238037109 × 131072)
    floor (70667.5)     		tx = 70667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726741790771484 × 217)
    floor (0.726741790771484 × 131072)
    floor (95255.5)     		ty = 95255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70667 / 95255 ti = "17/70667/95255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70667/95255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70667 ÷ 217
    70667 ÷ 131072     		x = 0.539146423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95255 ÷ 217
    95255 ÷ 131072     		y = 0.726737976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539146423339844 × 2 - 1) × π
    0.0782928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24596423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726737976074219 × 2 - 1) × π
    -0.453475952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42463671980845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24596423} λ = 0.24596423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42463671980845))-π/2
    2×atan(0.240595851041099)-π/2
    2×0.236108303735696-π/2
    0.472216607471391-1.57079632675     		φ = -1.09857972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24596423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.092712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09857972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.943981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70667 KachelY 95255 0.24596423 -1.09857972 14.092712 -62.943981
    Oben rechts KachelX + 1 70668 KachelY 95255 0.24601217 -1.09857972 14.095459 -62.943981
    Unten links KachelX 70667 KachelY + 1 95256 0.24596423 -1.09860152 14.092712 -62.945230
    Unten rechts KachelX + 1 70668 KachelY + 1 95256 0.24601217 -1.09860152 14.095459 -62.945230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09857972--1.09860152) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09857972--1.09860152) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24596423-0.24601217) × cos(-1.09857972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454861427493476 × 6371000     		do = 138.926388089641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24596423-0.24601217) × cos(-1.09860152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454842013128825 × 6371000     		du = 138.92045844295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09857972)-sin(-1.09860152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454861427493476-0.454842013128825)×R²
    abs(0.24601217-0.24596423)×1.9414364651138e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9414364651138e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9414364651138e-05×40589641000000     		ar = 19294.7686267341m²