Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70667 / 103465
↖ ↑ ↗
← S 71.560561°
E 14.092712°		 ← 96.61 m → S 71.560561°
E 14.095459°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
S 71.561430°
E 14.092712°		 ← 96.60 m →
9 337 m²		 S 71.561430°
E 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539150238037109 y=0.789379119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539150238037109 × 217)
    floor (0.539150238037109 × 131072)
    floor (70667.5)     		tx = 70667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789379119873047 × 217)
    floor (0.789379119873047 × 131072)
    floor (103465.5)     		ty = 103465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70667 / 103465 ti = "17/70667/103465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70667/103465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70667 ÷ 217
    70667 ÷ 131072     		x = 0.539146423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103465 ÷ 217
    103465 ÷ 131072     		y = 0.789375305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539146423339844 × 2 - 1) × π
    0.0782928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24596423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789375305175781 × 2 - 1) × π
    -0.578750610351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.81819866568911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24596423} λ = 0.24596423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81819866568911))-π/2
    2×atan(0.162317876507204)-π/2
    2×0.160914461403026-π/2
    0.321828922806052-1.57079632675     		φ = -1.24896740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24596423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.092712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24896740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.560561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70667 KachelY 103465 0.24596423 -1.24896740 14.092712 -71.560561
    Oben rechts KachelX + 1 70668 KachelY 103465 0.24601217 -1.24896740 14.095459 -71.560561
    Unten links KachelX 70667 KachelY + 1 103466 0.24596423 -1.24898257 14.092712 -71.561430
    Unten rechts KachelX + 1 70668 KachelY + 1 103466 0.24601217 -1.24898257 14.095459 -71.561430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24896740--1.24898257) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24896740--1.24898257) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24596423-0.24601217) × cos(-1.24896740) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316302115630842 × 6371000     		do = 96.606807730108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24596423-0.24601217) × cos(-1.24898257) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316287724444826 × 6371000     		du = 96.6024122914697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24896740)-sin(-1.24898257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316302115630842-0.316287724444826)×R²
    abs(0.24601217-0.24596423)×1.43911860155943e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43911860155943e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43911860155943e-05×40589641000000     		ar = 9336.64911081513m²